中级微观经济学例题讲解

中级微观经济学要点与例题教师：卢时光P37（3）假设一个消费者的效用函数为下列那个效用函数同样表示了这个消费者的偏好？提示：同一个偏好可以由多种效用函数表示，只要这些效用函数不改变参与人对经济状态的排序即可。答案：a.2121),(qqqqU212110),(qqqqUP38（5）计算下列效用函数的边际商品替代率和边际效用，边际商品替代率递减是否等价于边际效用递减？1.12,221121212121211,1lnln),(qqMUMUMRSqqUMUqqUMUqqqqUqqqqqq2.12,2112121222112121212121221221),(qqMUMUMRSqqqqqqUMUqqqqqqUMUqqqqUqqqqqq3.12212221,2121212221221122121)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(),(212121qqgqqgqqMUMUMRSgqqgqgqqqUMUgqqgqgqqqUMUgqqqqUqqqqqqP52（8）某消费者的效用函数假设商品1和2的价格分别等于P1=6，P2=1，消费者的收入为10元，求消费者效用最大化消费组合。提示：消费者效用最大化消费组合必须满足商品的边际效用之比等于价格之比。2121)2(),(qqqqU解：20)2(),(10,0212162610261022,106)2(),(2121max21111211112,1221212121212121qqqqUqqqqqppMUMUqqqqMUMUMRSqMUqMUqqqqqqUqqqqqqqq用最大化时故无法获得内点解，效预算线方程：效用函数：有的时候，我们无法获得内点，消费者的偏好可能使得他们仅仅在选择消费一种商品的时候才获得最大化的效用。P78（3）下列哪个需求函数是对于P1、P2和I不是零次齐次？提示：零次齐次的含义是，所有价格和收入的任意同比例变化不改变商品1的需求数量。XYXYYXPIPXqPIPXqPPIXqppIq//)/(1212.03.05.012110,,,12111Iqpqpqeee定义：存在λ0，若成立，则方程是零次齐次的。若则称方程是k次齐次的。1.故零次齐次。12121211qppIppIppIq)()(xfxf)()(xfxfk2.3.故一次齐次12.03.05.02.03.05.02.03.05.01)()()(qPPIPPIPPIXqYXYXYX故，零次齐次。12221/)/())((/qPIPPPIPIPXqXYXYXY4.故，一次齐次的。121)/(/)/())((/qPIPPIPPPIPIPXqXYXYXYXYP78（4）假设某种商品的需求函数是q=5I/8p，I表示消费者的收入，p表示该商品的价格，求出替代效应。提示：利用斯卢茨基方程方程总效应=替代效应+收入效应IqqpqpqU111111常数替代效应恒为负。常数222641585858585,8585PIppIpIIqqpqpqpIqpIpqpIqUP79（6）如果一个消费者的财富量为W，他对于咖啡（q1）和冰激凌（q2）的效用函数为咖啡的价格为p1，冰激凌的价格为p2。求（1）两种商品的马歇尔需求函数；（2）间接效用函数；（3）支出函数；（4）两种商品的希克斯需求函数；（5）以第一种商品为例，验证斯卢茨基方程。)5,min(),(2121qqqqU解：由于消费函数是固定比例消费函数，故消费者消费咖啡和冰激凌的比例恒定为：根据题意可知，预算线方程为：根据消费者效用最大化原则，将上式代入预算线方程得到马歇尔需求函数为：212155qqqq或者2211qpqpI21*21*5;2.021ppIqppIq因此间接效用函数是：调换效用和支出的角色，获得支出函数：为了获得补偿（希克斯）需求函数，我们从间接效用函数中解出I（其实就是上一步中的支出函数），然后替换进马歇尔需求函数，得到：21*1*2*1212.0),min(),,(ppIqqqIppVUppUppE)2.0(),,(2121VVppppqVqcc5152.0;212121以第一种商品为例，验证斯卢茨基方程：程得证。收入效应，斯卢茨基方替代效应总效应可以得到收入效应：利用马歇尔需求函数，求导，得到替代效应：通过对希克斯需求函数函数的总效应：价格变化对马歇尔需求2212121*11'112211*1)2.0(2.01)2.0(0)()2.0(ppIppppIIqqVpqppIpqcP91（1）假设一个决策者的贝努利效用函数为u（·），初始财富为W。考虑一个以概率π获得支付G，以概率1-π获得支付B的彩票。（1）假设决策者拥有这个彩票，如果他要销售这个彩票，他的最低卖价是多少？（2）假设决策者不拥有这个彩票，如果他要购买这个彩票，他的最高买价是多少？提示：决策者购买彩票必须满足购买这张彩票所得到的期望效用大于不购买这张彩票（初始财富）的期望效用；如果彩票的价格为p,则：)()()1()(WuBpWuGpWu如果决策者出售这张彩票，则必须满足出售这张彩票所带来的收益的期望效用高于拥有这张彩票的期望效用，若彩票的价格为p,则：)()1()()(BWuGWupWuP92（5）大气环流的情况显示，未来一年有50%的可能性发生干旱。假设张三是一名追求期望效用最大化的农民，其贝努利效用函数u(x)=ln(x)，初始财富为0，张三考虑在两种作物玉米和草莓之间做出选择，其获得的收益如下：（1）张三的风险态度是那种类型？提示：贝努利效用函数的边际效用递减或是凹函数，就意味着消费者是风险规避的；反之是风险喜好的。依题意，有张三为风险规避者。雨量正常干旱玉米500040000草莓2000012000xdxxdMUx/1/)ln(（2）如果张三只能选择种植一种作物，他选择那种？张三追求期望效用最大，故选择种草莓。（3）如果土地可以均分，那种组合可以带来最大期望收入？张三会选择那种种植组合？故，张三选择各种一半。6481.9)12000ln(5.0)20000ln(5.0)(5569.9)40000ln(5.0)5000ln(5.0)(草莓玉米UU7997.9)26000ln(5.0)12500ln(5.0)(6481.9)12000ln(5.0)20000ln(5.0)(5569.9)40000ln(5.0)5000ln(5.0)(各一半草莓玉米UUU（4）如果张三可以任意选择比例两种产品，保证比例之和为100，那么张三会选择什么样的组合？设张三种植玉米的比例为x,则种植草莓的比例为（1-x）对效用函数求一阶导数并令其为零：故知，张三选择种植88%的玉米，种植12%的草莓。)]1(1200040000ln[5.0)]1(200005000ln[5.0xxxxU88.07408400)1(1200040000280005.0)1(200005000150005.0xxxxxxdxdU（5）如果张三决定每种作物各种一半，同时，太平洋保险公司愿意为张三的草莓种植提供保险，保险费为5000元，如果发生干旱，保险公司赔偿10000元。张三应该购买这个保险吗？前面计算已知各种一半的期望效用值为：如果购买保险雨量正常的期望收益是12500-5000，干旱的期望收益26000+10000，其贝努利期望效用小于不购买保险，故不买。7997.9)26000ln(5.0)12500ln(5.0)(各一半U707.9)36000ln(5.0)7500ln(5.0)(保险UP108（4）给定生产函数假设产品价格p=10，工资w=5和资本租金r=2已知。求（1）画出y=10，20，30，40时的等产量曲线；（略）（2）当K=25时，求使得利润最大时的L。2/12/1),(KLKLfy。故利润最大化的代入生产函数：解：将2552555052550),(5),(25K2/12/12/12/1LLMCMRdLdyyTCLTCMCLKrwLTCLdLdyyTRLTRMRLKLpfTRLKLfyP108（5）某厂商用资本K和劳动L生产产品，在短期内资本固定不变，劳动可变。短期生产函数：其中，Q为每周产量，L是雇佣劳动数量，每人每周工作40小时，工资为每小时12元。（1）计算该厂商在生产的第I、II和III阶段上的产量数值范围；（2）厂商在短期生产的话，其产品的最低价格是多少？3224240LLLQ;20)(4,,0;12,348240/24240/242402212232LLTPMPLAPMPAPLLdLdQMPLLLQAPLLLQLLLLLLL，舍去最大最大，（2）厂商在短期生产的话，其产品的最低价格是多少？提示：产品价格最低，意味给定成本，产量最大。（元）最大：时，已知，5.16400/9600/96001240201240640020202420240242402032322LLLLLTPTCpLTCLLLTPTPLP128（6）已知生产函数y为产量，L和K为劳动和资本投入量，劳动的工资w=10,资本的租金r=20,产品的价值为100.（1）若短期，资本固定为100，求最优劳动投入量L，产量和利润，并计算技术替代率MRTSL,K。解：提示生产者均衡条件为：2/12/1),(KLKLfyrwMPMPKL解：KLLKrwMPMPMRTSKLMPLKMPTCTRyLMCLrKwLTCLMRLpyTRMCMRLyKKLKLKL2212,233000600,250010,102000/500,100010,100,2/12/12/12/1max2/1若使利润最大，则短期内（2）若长期中，资本可以自由变化，则生产（1）中同样产量所需的最优劳动投入量和资本量是多少？48000300,600)2(600)1(221max2/12/1,TCTRKLKLyTPKLLKrwMPMPMRTSKLKLP128（5）已知厂商的生产函数劳动的价格w=2，资本的价格r=1，求：（1）当成本C=3000时，该厂商实现利润最大化的L，K，Q分别是多少？（2）当产量Q=800时，该厂商实现利润最大化的L，K，Q分别是多少？3/13/2KLQKLrwLKMPMPKLKQMPLKLQMPKLKL1223,323/23/23/13/1（1）（2）10001000)2(23000)1(3/13/2KLQKLKLCKL24002800)2(800)1(3/13/2KLCKLKLQKLP166（3）在一个完全竞争市场中，单个厂商的长期成本函数此时，市场价格p=200，则：（1）该厂商利润最大化时的产量，平均成本和利润是多少？qqqCL1001023100010)100200(1001001010)(31020010020310010221223TCTRqqqCLACqqqqdqdCLMCpLMCqqqCLLL，舍