广义积分审敛法

二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法反常积分的审敛法函数第五章1第一类p积分当p1时收敛;p≤1时发散.2广义积分当q1时收敛;q≥1时发散.一、无穷限反常积分的审敛法定理1.若函数xattfxFd)()(.d)(收敛则反常积分axxf证:根据极限收敛准则知xaxxttfxFd)(lim)(lim存在,.d)(收敛即反常积分axxf定理2.(比较审敛原理),),[)(aCxf设有分大的x且对充)()(0xgxf,则收敛xxgad)(发散xxgad)(证:不失一般性,有则对atxxftad)(xxgtad)(的是故txxftad)(因此单调递增有上界函数,xxfxxfatatd)(d)(lim说明:已知得下列比较审敛法.极限存在,定理3.(比较审敛法1)pxMxf)(pxNxf)(,1p,1p例1.判别反常积分解:的敛散性.机动目录上页下页返回结束由比较审敛法1可知原积分收敛.思考题:讨论反常积分的敛散性.提示:当x≥1时,利用可知原积分发散.定理4.(极限审敛法1)机动目录上页下页返回结束lxfxpx)(lim则有:1)当2)当证:,1时当p根据极限定义,对取定的当x充分大时,必有,即满足当机动目录上页下页返回结束,1时p可取,0必有即,0l使时用任意正l(,)lN代替数注意:此极限的大小刻画了例2.判别反常积分121dxxx的敛散性.解:2211limxxxx机动目录上页下页返回结束11lim21xx1根据极限审敛法1,该积分收敛.例3.判别反常积分xxxd11223的敛散性.解:21lim2321xxxx221limxxx1根据极限审敛法1,该积分发散.定理5.机动目录上页下页返回结束,d,),[)(收敛）（且若axxfaCxf.d)(收敛则反常积分axxf证：,])()([)(21xfxfx令则)()(0xfx,d收敛）（axxf,d)(也收敛axx)()(2)(xfxxfxxfxxxxfaaad)(d)(2d)(而.d)(收敛可见反常积分xxfa定义.设反常积分,d)(收敛xxfa,d)(收敛若axxf机动目录上页下页返回结束则称绝对收敛;,d)(发散若axxf则称条件收敛.例4.判断反常积分的敛散性.解:根据比较审敛原理知,dsin收敛axaxbxe故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束由定义babaxxfxxfd)(limd)(0则有令,1tax例如1120d)1(limd)(abtttafxxfbaabtttaf12d)1(因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.定理6.(比较审敛法2)定理3目录上页下页返回结束qaxMxf)()(axNxf)(,1q瑕点,有有利用xaxbaqd)(11,q收敛1,q发散有类似定理3与定理4的如下审敛法.使对一切充分接近a的x(xa).定理7.(极限审敛法2)定理4目录上页下页返回结束lxfaxqx)()(lim则有:1)当2)当例5.判别反常积分.lnd31的敛散性xx解:,1为瑕点此处x利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分发散.例6.判定椭圆积分定理4目录上页下页返回结束)1()1)(1(d210222kxkxx散性.解:,1为瑕点此处x由于的敛21)1(x)1)(1(1222xkx)1)(1(1lim221xkxx)1(212k根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.类似定理5,有下列结论:,)(d)(baaxxf收敛为瑕点若反常积分机动目录上页下页返回结束例7.判别反常积分的敛散性.解:,d)(baxxf收敛称为绝对收敛.,0为瑕点此处x,0lnlim410xxx因,1ln,41xxx有的故对充分小从而4141lnlnxxxxx411x据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分三、函数1.定义机动目录上页下页返回结束下面证明这个特殊函数在0s内收敛.1121011d,dxexIxexIxsxs.)11I讨论)0(d)(01sxexsxs令;,11是定积分时当Is,10时当sxsxsexex1111sx11,11s而.21收敛知根据比较审敛法I机动目录上页下页返回结束)(1xsexxsxex1lim.)22I讨论0112dxexIxs.12收敛知根据极限审敛法I综上所述,21)(IIs.0上收敛在s2.性质(1)递推公式机动目录上页下页返回结束证:0d)1(xexsxs)0()()1(ssss(分部积分)0dxsex01d0xexsexxsxs)(ss注意到:0d)1(xex1有,Nn)()1(nnn)1()1(nnn)1(!n(2)机动目录上页下页返回结束证:,)1()(sss.)(,0ss时当1)1(,0)(连续在且可证明ss)(,0ss时(3)余元公式:)10()sin()1()(ssss有时当,21s(证明略)(4)机动目录上页下页返回结束得令,2ux的其他形式)(s)0(d2)(0122suuessu,12ts再令,21ts即得应用中常见的积分)1(2121d02ttueuut这表明左端的积分可用函数来计算.例如,0411)1(dxxI0421)2(dxxxI022202221112111121dxxxxdxxxx