第5章_线性定常系统的综合

第5章线性定常系统的综合5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性5.2极点配置问题系统的分析与综合：分析问题：已知系统的结构和参数及已知外输入作用，研究系统运动的定性行为(如能控性、能观测性、稳定性)和定量的变化规律。综合问题：已知系统的结构和参数，以及所期望的系统运动形式或某些特征，要确定的则是需要施加于系统的外输入作用即控制作用的规律(简称控制律)。一般控制作用规律常取反馈的形式。一、综合问题给定系统状态空间描述：)1(0)0(,0xxxCytxxBuAA、B、C均为常阵且给定。再给出所期望的性能指标：1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小（或极大）值的一个性能函数。综合：寻找一个控制作用u，使得在其作用下，系统运动的行为满足所给出的期望性能指标。一般u依赖于系统的实际响应。形式为：u=Kx+v状态反馈控制（2）u=Hy+v输出反馈控制（3）其中：K为r×n常阵，状态反馈矩阵。H为r×m常阵，输出反馈矩阵。v为参考输入向量。二、性能指标的类型非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达到或好于期望指标就算实现了综合目标。优化型性能指标：是一类极值型指标，综合的目的是要使性能指标在所有可能值中取为极小(或极大)值。性能指标1.常用非优化型性能指标：(1)以渐近稳定性为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。(2)以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题为极点配置问题。系统运动的形态，即动态性能（如超调量、过渡过程）主要由极点的位置所决定。(3)以使系统的输出y无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为性能指标，相应的综合问题为跟踪问题。(4)以使一个多输入-多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。为能观测。常阵且正定对称或半正定对称正定对称常阵),(;)xx())((210QAQRdtRuuQuJTT2.优化型性能指标常取一个相对于状态x和控制u的二次型积分性能指标，其形式为：三、研究综合问题的思路1建立可综合的条件：建立相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控制存在，并实现综合目标所应满足的条件。2建立起相应的用以综合控制规律的算法。利用这些算法，对满足可综合条件的问题。确定出满足要求的控制规律，即确定出相应的状态反馈或输出反馈矩阵。四、工程实现中的一些理论问题1.状态反馈物理构成问题：(1)状态可直接测量：直接实现(2)状态不可直接测量：间接实现，可通过可测量的输入和输出变量来估计系统状态——“状态观测器”2.系统模型不准确和系统参数摄动问题（鲁棒控制理论来解决）。鲁棒控制：系统有一定的稳定性裕度（增益裕度、相位裕度等）允许系统参数误差或摄动出现在模型参数的一个领域内，系统仍保持稳定。3.对外部扰动影响的抑制问题本章主要学习和掌握内容：1、反馈控制系统的基本结构;2、极点配置方法。5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性主要学习和掌握内容：1、学习和理解系统状态反馈和输出反馈的概念；2、学习和了解反馈控制系统的基本结构；3、学习和掌握状态反馈和输出反馈对系统能控性和能观性的影响。1状态反馈控制系统的基本结构形式1）基本结构形式2）特点：采用对状态向量的线性反馈规律来构成闭环系统。3）优点：不引入新的状态变量，维数不变。一、反馈控制系统的基本结构形式(理论结构形式)DuCyBuADCBAxxx:),,,(0为受控系统即开环系统.:维向量：参考输入，状态反馈阵；：反馈控制规律为rvnrKvKux闭环系统状态空间表达式？BBK)](AC[sW(s)C]B,BK),[(AΣ;CxyBvBK)x(Ax0,当DD]DK),(CB,BK),[(AΣ:闭环系统1kkIDuCxyBuAxxDvDK)x(CyBvBK)x(AxD)C,B,(A,Σ:开环系统o)为输入v(vKxu:系统Σ闭环k系统维数不变，极点可配置2.输出反馈控制系统的基本结构形式1）基本结构形式2）特点：采用输出反馈。3）数学模型：.:输出反馈阵为反馈控制规律受控系统为：mrHvHCvHyuCyBuAxxxxDBBHCAsIDHCCsGDuDHCCyBvBHCAC1))(()()()(数矩阵：输出反馈系统的传递函状态空间描述：输出反馈后闭环系统的xxx)(])([)]()[()()()(111sGHsGIsHGIsGsGDBAsICsGOOOOCO则闭环传递函数为：受控系统传递函数：二、反馈控制系统的通用结构形式(适用于工程实际)1.带有观测器的状态反馈（克服状态向量x不可能测量到，借助状态观测器实现状态重构）。1）结构图2）观测器系统x*是受控系统的状态x的重构状态。x*是可直接量测的。x*与x虽不等，但渐近相等。观测器系统的阶次低于受控系统的阶次。3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与观测器系统阶次之和。图.利用观测器实现状态反馈（扩展状态反馈系统）2.带补偿器的输出反馈克服基本结构形式，不能随心所欲地任意配置闭环系统的极点，借助补偿器来实现闭环系统的任意配置。1）结构图2）补偿器系统补偿器系统的阶次低于受控系统的阶次。3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与补偿器系统阶次之和。图.动态输出反馈（扩展输出反馈系统）三、状态反馈和输出反馈对系统能控性和能观测性的影响结论1：状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。组合来表示。AB]的列向量的线性[B,BK)B的列向量可由故(ABKBABBK)B(A上式中列向量B]BK)(ABK)B(A[BQ而nB]AABrank[BQrank:必有完全能控,假设受控系统B]BK)(ABK)B(A[BQ:的能控性判据阵反馈系统B]AAB[BQ:的能控性判据阵受控系统证明：先证明能控性。1nck1nc01nckck1nc0证毕。能控。能控当且仅当rankQrankQrankQrankQ故而有C)B,BK),BK)(((A形成的状态反馈系统经反馈而C)B,BK),((AC)看作由B,(A,我们可把又,rankQrankQ因此有的线性组合来表示。B]的列向量ABAAB,B的列向量可由[B,BK)以此类推(A合表示。B]的列向量的线性组AAB,B的列向量可由[B,BK)故(ABKBKBBKABABKBBABKB)BK)(AB(ABK)BBK)(A(ABBK)(A同理cckckcckccckccck1n21n2222结论1证明(续)再证状态反馈系统不一定能保持能观测性。举例说明：。不完全能观测因此，2n1rankQ1111BK)C(ACQ：能观测性判别阵x11yv10x1021BvBK)x(Ax:则反馈系统40K状态反馈阵为：且取引入状态反馈,能观测。故n2rankQ5111CACQ:能观测性判别阵x11yu10x3021xkckckkoooo。完全能观测则反馈系统2Qrank0111BK)C(ACQ5-0K状态反馈阵为：若取kckck结论2：输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性，即输出反馈系统∑F的能控性及能观测性与受控系统∑o的能控性及能观测性一致。（证明略）。上例说明状态反馈可能改变系统的能观测性。这时因为状态反馈会改变系统的极点(不改变零点)，这就有可能使传递函数出现零极点对消，从而破坏系统的能观测性。四、状态反馈和输出反馈的比较1.状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息不完全反馈。2.状态反馈系统的系统矩阵为(A+BK)，其中K为状态反馈阵。输出反馈系统的系统矩阵为(A+BHC)，其中H为输出反馈阵，这里HC相当于状态反馈阵中的K阵，但K的选择自由度大，而H的选择自由度小，尤其是HC对系统的影响效果要比K小得多，所以输出反馈对改善闭环系统的控制特性要比状态反馈差一些。3.状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。4.状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能控性和能观测性。5.输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。6.扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。5.2极点配置问题:单输入系统主要学习和掌握内容：1、学习和掌握利用状态反馈配置极点的方法和特点。2、学习和理解利用输出反馈配置极点的方法和特点。一、状态反馈的极点配置问题状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统，确定状态反馈律u=Kx+v,v为参考输入，即确定一个r×n的状态反馈增益矩阵K，使所导出的状态反馈闭环系统的极点为期望极点{}。BuBKAxx)(*n*2*1λ,,λ,λ解决上述极点配置问题，需要解决两个问题：1）建立可配置条件问题，即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。100bTb;bbbcTcaaa0ATTA;ubxAxxTx1c11n10c11n101nc11c1c1I型出能控标准写则可能控,若Σ:证明oIxcyvbx)KbA(x状态反馈系统即闭环系统kkkK设状态反馈阵：asasasbsbsbsbbA)c(s(s)W1n10011n1n012n2n1n1n1o,I二、极点配置条件定理:采用状态反馈对系统∑o=(A,b,c)任意配置其所有极点的充要条件是∑o=(A,b,c)完全能控。)k(a)k(a)k(a0kkk100aaa0)KbA(1n1n11001n1n101n101nII*0*11n*1nnn1i*i*00112n2n2n1n1n1nnaλaλaλ)λ(λ(λ)f)k(a)λk(a)λk(a)λk(aλ)KbA(λbK)(AλII:为式多项特征系统的则闭环。为特征值的特征多项式λλλ表示以期望极点(λ)f*n*2*1*,...,,*000*111*2n2n2n*1n1n1naakaakaakaak:比较系数得1c11c11c1c1TKKKx,xTKxKx,TxxTx)k(a)sk(a)sk(asbsbsbsbb)]KbA([sc(s)w数：闭环反馈系统的传递函00111n1n1nn012n2n1n1n1kI)k(a)λk(a)λk(a)λk(aλaλaλaλaλ)λ(λ(λ)f：即f(λ),(λ)f望极点相符，需满足：要使闭环系统极点与期00112n2n2n1n1n1nn*0*12n*2n1n*1nnn1i*i**.**Kkaiii，由此可得反馈阵，由此可求出则易得，即：若