§3.1 多维随机变量的概念

第三章多维随机变量及其概率3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数1212,,,(31(1,2,,),,,).nninXXXXXXnniinXXX个随机变量构成的整体称定义维随机变为一个或,称量维随机向量第的个分量为,.()(,)(,){,},,,(,)XYXYFxyPXxYyxyFxyXY称二元函分布数数的函设为一个二维随机变量，记为与联合分布函或为数的称定义3-2边缘分布函数：(X,Y)的两个分量X与Y各自的分布函数分别为二维随机变量(X,Y)关于X与关于Y的边缘分布函数,记为FX(x)与FY(y).边缘分布函数可由联合分布函数来确定.如下(){}{,}(,)lim(,);XyFxPXxPXxYFxFxy(){}{,}(,)lim(,).YxFyPYyPXYyFyFxy几何意义：分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率,见下图.yx(x,y)0D利用分布函数及其集合意义不难看出,随机点(X,Y)落在矩形域{x1X≤x2,y1Y≤y2}内(如下图)的概率为：yxoy2y1x2x1(x1,y2)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)221122221111(,)(,)(,)({,}.,)FxyFxPxXxyyFxyyYyFx回忆:分布函数F(x)的性质.(1)0()1;Fx1212(2)()()();FxxxFxFx是不减函数，对于任意的有(3)()lim()0,()lim()1;FFxFFxxx(4)()lim()().0FxFxxFxx是右连续，即(,)Fxy分布函数具有下列性质：21212121(1)(,)(),,(,)(,);,(,)(,).FxyxyyxxFxyFxyyyFxyFxy是变量或的不减函数即对任意固定的，当时当时(2)0(,)1,,(,)0;,(,)0;(,)0,(,)1.FxyyFyxFxFF对任意固定的对任意固定的00(3)(,),(,)lim(,)(,)lim(,).xyFxyxyFxyFxxyFxyFxyy关于和关于均是右连续即；121222211211(4),.(,)(,)(,)(,)0.xxyyFxyFxyFxyFxy对任意固定的例3-10,0,(,)1,0.xyFxyxy判断二元函数是不是某二维随机变量的分布函数.2221211(,)(,)(1,)(,)0.FxyFxyFxyFxy12120,0,1,1,1,(,)1,0.1,xxyxyFxyyxy而本题中若取2221211(,)(,)(1,)(,)111010.FxyFxyFxyFxy(,).Fxy故函数不能作为某二维随机变量的分布函数1212(,),,xFxyxyy作为二维随机变量的分布函数对任意的应有解3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量(X,Y)只能取有限多对或可列无穷多对(Xi,Yj),(i,j=1,2,…)则称(X,Y)为二维离散型随机变量.设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(Xi,Yj),(i,j=1,2,…),(X,Y)在各个可能取值的概率为：P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)称P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)为(X,Y)的分布律.(X,Y)的分布律还可以写成如下列表形式：XYy1y2…yj…x1x2…xi…p11p12…p1j…p21p22…p2j…pi1pi2…pij…………………(X,Y)的分布律具有下列性质:回忆：分布律{PK}的性质.(1)0≤PK≤1；(2)P1+P2+…+PK…=1.(1)0≤Pij≤1(i,j=1,2,…);(2)1.ijijp反之,若数集{pij}(i,j=1,2,…)具有以上两条性质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律.例3-2设(X,Y)的分布律为XY123122aa11364104求常数a的值.解由分布律性质知，21111,3644aa2610,(31)(21)0,aaaa则111(),.323aaa解得或负值舍去所以例3-3设(X,Y)的分布律为XY12300.10.10.310.2500.25求:(1)P{X=0};(2)P{Y≤2};(3)P{X1,Y≤2};(4)P{X+Y=2}.解(1){X=0}={X=0,Y=1}U{X=0,Y=2}U{X=0,Y=3},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2},{X=0,Y=3}两两互不相容,P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.1+0.1+0.3=0.5.所以，(2){2}{1}{2}{0,1}{1,1}{0,2}{1,2}YYYXYXYXYXY{0,1}{1,1}{0,2}{1,2}XYXYXYXY两两且事件，，，互不相容,{2}{1}{2}{0,1}{1,1}{0,2}{1,2}0.10.250.100.45.PYPYPYPXYPXYPXYPXY所以,(3){1,2}{0,1}{0,2},{0,1}{0,2}{1,2}{0,1}{0,2}0.10.10.2.(4){2}{0,2}{1,1},{0,2}{1,1},{2}{0,2}{1,1}0.XYXYXYXYXYPXYPXYPXYXYXYXYXYXYPXYPXYPXYUU互不相容互不相且事件，且事件容,所，所以以10.250.35.1,2,3,,1,(,).XYXXY现有三个数字表示从这三个数字中随机抽取的一个整数表示从到中随机抽取一个整数试求的分布律例3-4Y1,2,3.,(,)XXY与的可能值为利用概率乘法公式可得取各对数值的概率分别是：解11{1,1}{1}{1|1}1.33PXYPXPYX111111{2,1}{2,2}326326PXYPXY类似地有，，111111{3,1}{3,2}339339111{3,3}.339PXYPXYPXY，，{1,2}{1,3}{2,3},,(,)XYXYXYXY而，，为所以概率为零即的不可能事件分布率为123110031120661113999XY定义3-4对于离散型随机变量(X,Y)，分量X(或Y)的分布律称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布律，记为Pi.(i=1,2,…)(或P.j(j=1,2,…))，它可由(X,Y)的分布律求出.事实上，12{}{,}{,}{,}{,}ijjPPXxiiPXxYyPXxYyiiPXxYyiPXxYyjLL(,){},1,2,.(,){},1,2,.(,)00(,1,2,.)1,1.ijjijiiiXYXPPXxPiiiXYYPPYyPjjjXYPPijijPPijLLL即关于的边缘分布律为：同理可得到关于的边缘分布律为：的边缘分布律有下列性质：，，31(,)XYXY求例中关于和的边缘分布律.例3-5111121322122233313233.1112131.2.(,)11{1}00,33111{2}0,6631111{3}.9993(,)11111{1},36918{2}XYXYXPXPPPPPXPPPPPXPPPPXYYPYPPPPPYPP与的可能取值均为1，2，3关于的边缘分布律为：关于的边缘分布律为：解122232.31323331150,691811{3}00.99PPPYPPPP(,)XY将的分布律与边缘分布律写在同一表上，如下：123111003311120663111139993115118189ijppXY23,(,).XYXY设盒中有个红球个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记分别表示第一次与第二次取出红球的个数，分别对摸球与摸球两有放回不放回种情况求出的分布律与边缘分布律例3-6(1)(,0,1),3390000,55253260101,55252361010,55252241111.5525XiYjijPXYPXPYPXYPXPYPXYPXPYPXYPXPY有放回摸球情况：由于事件与相互独立所以,,解,,则(X,Y)的分布律与边缘分布率为：0033323055555232221555553255ijppXY(2)3230,000,54103232330,1,1,0,541054102111,1.5410PXYPXPYPXYPXYPXY不放回摸球情况：类似地有则(X,Y)的分布律与边缘分布率为：0032323054545232121545453255ijppXY(,)(,)(,)(,).XYXYXYXYXYXY比较两表可看出：有放回抽样与不放回抽样两种情况下，的边缘分布律完全相同，但的分布律却不相同，这表明的分布律不仅反映了两个分量的概率分布，而且反映了与之间的关系.若两个分量的概率分布完全相同，但分量之间关系却不同，则它们的分布律也会不同.因此在研究二维随机变量时，不仅要考虑两个分量与各自的个别性质，还需要考虑它们之间的关系，即应将作为一个整体来研究1.设随机变量(X,Y)的联合分布如下,则a=______a2129161121XY练习2.二维随机变量(X,Y)的分布律如下418112124181611321XY则P{Y=2}=___________.3.设二维随机变量(X,Y)的分布律如下则P{XY=0}=___________.012111012661110121211126126XY1115,,,.6312124.设二维随机变量(X,Y)只能取下列数组中的值：(1)写出(X,Y)的分布律；(2)分别求(X,Y)关于X,Y的边缘分布律.且取这些值的概率依次为1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3,XY设随机变量的分布律分别为101111424XP{0}1.PXY且011122YP(,).XY求：的分布律3.1.3二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度()0,()1;fxfxdx一维连续型随机变量X的可能取值为某个或某些区间，甚至是整个数轴.二维随机变量(X,Y)的可能取值范围则为XOY平面上的某个或某些区域，甚至为整个平面，一维随机变量X的概率特征为存在一个概率密度函数f(x)，满足：{}(),()().bxaPaXbfxdxFxftdt且分布函数定义3.5的分布函数则称是连续型的二维随机变量,函数或X与Y的联合密度使对于对于二维随机变量,XY,,Fxy,XY（X,Y)的概率密度,随机变量,,xyFxyfuvdudv任意有,xy如果存在非负的函数,,fxy,fxy函数.概率密度函数f(x,y)的性质：(1)(,)0;(2)(,)1.fxyfxydxdy判断一个二元函数是否可做为概率密度函数的依据.2(,)(,)(,(,.))fxyFxyfxyxyyx若在处连续，则有如果已知(X,Y)的概率