第18讲(优良性准则、区间估计)

概率论与数理统计第十八讲从前面两节的讨论中可以看到:●同一参数可以有几种不同的估计，这时就需要判断哪一种估计好.●另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大似然法即使得到的是同一个估计,也存在衡量这个估计优劣的问题.估计量的优良性准则就是：评价一个估计量“好”与“坏”的标准.§7.3估计量的优良性准则定义1设总体的参数为，7.3.1无偏性的一个估计，是),,,(ˆˆ21nXXX)ˆ(E对一切可能的成立,对于样本X1,X2,,Xn的不同取值,取不同的值.若是一个统计量，是随机变量.ˆ注意：称为的无偏估计.ˆ参数，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是平均来说它等于.“一切可能的”是指：在参数估计问题中，参数一切可能的取值.我们之所以要求对一切可能的都成立，是因为在参数估计问题中,我们并不知道参数的真实取值.自然要求它在参数的一切可能取值的范围内都成立说明无偏性的意义是：用估计量估计ˆ.)ˆ(E例1设X1,X2,…,Xn为来自均值为的总体的样本，考虑的如下几个估计量的无偏性：例如若指的是正态总体N(,2)的均值,则其一切可能取值范围是(-∞,+∞).若指的是方差2，则其一切可能取值范围是(0,+∞).,)()ˆ(111XEE）因（；11ˆ)1(X;2ˆ(2)212XX.3ˆ(3)212XX解.ˆ1的无偏估计是所以，,))()((21)ˆ(2212XEXEE）因（.ˆ,2的无偏估计是所以.ˆ,3的有偏估计是所以,32))()((31)ˆ(3212XEXEE）因（定理1设总体X的均值为,方差为2,X1,X2,…,Xn为来自总体X的随机样本，记与分别为样本均值与样本方差，即即样本均值和样本方差分别是总体均值和总体方差的无偏估计..)(11,12121XXnSXnXniinii.)(,)(22SEXE则X2S证明因为X1,X2,…,Xn独立同分布，所以)1()(1niiXnDXD)(112niiXDn，nn1)1()(1niiXnEXE)(11niiXEn，nnn222122))(()()(XEXDXE22))(()()(iiiXEXDXE,22n,22这样）（212)(11)(XXEnSEnii))(22nn)(11212XnXEnniiniiiXEXDn12)))(()(((11))()((11212XnEXEnnii)))(()((2XEXDn211221)(2)(XnXXXXXniniiinii,212XnXnii)((1122nn.22)1(11nn.)()ˆ(ˆ的估计作为用的一个估计，我们通常是参数若gg前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体N(μ,σ2)中参数σ2的估计,均为.)(1ˆ212XXnnii很显然，它不是σ2的无偏估计.这正是我们为什么要将其分母修正为n-1，获得样本方差S2来估计σ2的理由..)()ˆ(ˆ的无偏估计也未必是的无偏估计，是但是：即使gg例2求证：样本标准差S不是总体标准差的无偏估计.证明因E(S2)=2，所以，D(S)+(E(S))2=2，由D(S)＞0，知(E(S))2=2-D(S)＜2.所以，E(S)＜.故，S不是的无偏估计.用S来估计，平均来说偏低.用估计量估计，估计误差7.3.2均方误差准则),,,(ˆ21nXXX是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小.要注意:为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成，即),,,(ˆ21nXXX.)ˆ()ˆ(2EMSE)ˆ(MSE.))ˆ(()ˆ(2ED哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”.注意：均方误差可分解成两部分:,ˆˆ21和的两个估计对证明.)ˆ()ˆ()ˆ(2）（EDMSE)ˆ()ˆ(2EMSE.))ˆ(()ˆ(2ED))ˆ(ˆ())ˆ((2))ˆ(())ˆ(ˆ(22EEEEEE2)))ˆ(())ˆ(ˆ((EEE上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，第二部分是估计量的偏差的平方和.注意：如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有:2))ˆ(()ˆ()ˆ(EDMSE如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优.这种判定估计量优劣的准则称为方差准则.).ˆ()ˆ(DMSE定义的两个无偏估计量，是、设ˆˆ21)ˆ()ˆ(21DD若))ˆ()ˆ((21MSEMSE即.ˆˆ21有效较称例3设X1,X2,…,Xn为来自均值为的总体的样本,考虑的如下两个估计的优劣：.11ˆ,ˆ1nijjjiXnX故这两个估计都是的无偏估计.)()ˆ(XDD.12n.ˆiX优于所以，.)ˆE(,)ˆ(iE由于)ˆ()ˆ(iDD故表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好.,2nnijjjiXDnD12)()1(1)ˆ(点估计就是利用样本计算出的值(即实轴上的点)来估计未知参数.§7.4正态总体的区间估计(一)优点是：告诉人们“未知参数大致是多少”；缺点是：并未反映估计的误差范围(精度).例如：在估计正态总体均值µ的问题中,若根据一组实际样本，得到µ的极大似然估计为10.12.一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数µ的概率(可靠度、置信度、置信水平(系数)).实际上，µ的真值可能大于10.12，也可能小于10.12.如：估计某人的身高(cm).甲估计：人的身高为[170,180];乙估计：人的身高为[150,190];但由于甲估计的区间短，包含该人真正身高的可能性（概率或置信度）小；乙估计的区间长，精度差，但置信度比甲的大.甲估计的区间较乙估计的短，故精度较高.实际中，在保证置信度的条件下，尽可能提高精度，（用区间的长度来度量）与置信度（用估计的区间包含未知量的概率来度量）是矛盾的.精度即区间的长度尽可能短.7.4.1置信区间的定义，若定确定的两个统计量，给是由样本、是总体的未知参数，的样本，是来自总体设10)(ˆˆ)(ˆˆ212122211121nnnn,X,,XX,X,,XX,X,,XXX,X,,XX1]ˆ,ˆ[21的置信区间，的置信系数为为称区间定义1(1).1}ˆˆ{21P.ˆˆ21信上限分别称为置信下限和置与]ˆ,ˆ[121系数）或可靠度，的置信度、置信水平（为.1]ˆ,ˆ[121的概率是包含置信区间的知由1}ˆˆ{21P.,,,]ˆ,ˆ[2121也可能不包含，这个区间可能包含，对于一个给定的样本随机区间，是一个间需要特别强调的是：区nXXX实际应用上，一般取α=0.05或0.01.(1).1}ˆˆ{21P7.4.2正态总体均值的区间估计.11.2置信区间的已知，总体方差.),(,,,2221已知的一个样本，是正态总体设NXXXn),(~2nNX，令nXU).1,0(~/NnX或1对于置信度1}{22UnXUnXP，由分位点定义知：}{2UUP1}/{22UnXUP.1}{22UUUP故.22UnXUnX，也可简记为置信区间为的于是1.2UnX例1某厂生产的零件长度X服从N(,0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下(单位:毫米):14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求µ的置信系数为0.95的置信区间.解,2.0,6n,95.01,025.0296.1025.02UU查表得）（1.152.158.149.141.156.1461X,95.142Un96.162.016.0.22UnXUnX，代入置信区间置信区间为的得95.0].11.15,79.14[]16.095.14,16.095.14[当方差未知时，取/，nSXt,1α对给定的置信系数.12.2置信区间的未知，总体方差.1})1(/)1({22ntnSXntP.11)}()1({22ntnSXntnSXP).1(~ntt则.)1(),1(22ntnSXntnSX也可简记为.)1(2ntnSX置信区间为的于是1例2为估计一物体的重量μ，将其称量10次,得到重量的测量值(单位:千克)如下:10.l,10.0,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.设它们服从正态分布N(,2).求的置信系数为0.95的置信区间.解，10n,95.01,025.02.2622.2)9()1(025.02tnt查表得，）（05.109.91.10101XniiXXnS122)(11)(11212XnXnnii0583.09525.0.24.0S故代入置信区间.)1(),1(22ntnSXntnSX置信区间为的得95.0].22.10,88.9[2622.21024.0)1(2ntnS1717.02622.21623.324.0]1717.005.10,1717.005.10[1)1()1()1(2222221nSnnP，对给定的置信系数1分布有由27.4.3正态总体方差的区间估计)1(~)1(222，nSn1)1()1()1()1(22122222nSnnSnP则置信区间为的所以，12.)1()1()1()1(2212222nSnnSn，置信区间为的均方差1.)1(1)1(122122SnnSnn，例3(续例2)求2的置信系数为0.95的置信区间.,70.2)9()1(2975.0221n2.70.05839,19.0230.05839代入置信区间为的得95.02解，10n,95.01,025.02,0583.02S查表得.023.19)9()1(2025.022n)1()1()1()1(2212222nSnnSn，].0.1940.028[，小结本讲首先介绍了估计量的评优准则，包括：无偏性和均方误差准则；然后介绍了区间估计的基本概念，详细讨论了正态总体均值和方差的区间估计.