2016-2017学年高中数学人教版选修1-1课件：2.1.2 第二课时 直线与椭圆的位置关系

第二课时直线与椭圆的位置关系[导入新知]1．直线与椭圆的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，椭圆方程为f(x，y)＝0.由Ax＋By＋C＝0，fx，y＝0消元，如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.设Δ＝b2－4ac.①Δ0时，直线和椭圆相交于不同两点；②Δ0时，直线和椭圆相切于一点；③Δ0时，直线和椭圆没有公共点．2．椭圆的弦直线与椭圆相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦，就是弦长，简单地说，椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段．＞＝＜线段的长[化解疑难]1．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切和相离．2．解决直线与椭圆的位置关系，一般是联立直线方程和椭圆方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与椭圆的公共点的个数，从而确定位置关系．直线与椭圆的位置关系[例1]对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1的位置关系．[解]由y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y，得x24＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当－5＜m＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交；当m＝－5或m＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m＜－5或m＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．[类题通法]判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ＞0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＜0⇔直线与椭圆相离．[活学活用]若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，求m的取值范围．解：由y＝kx＋1，x25＋y2m＝1，消去y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)．∵直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0对任意k∈R都成立．∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立．∵5k2≥0，∴1－m≤0，即m≥1.又椭圆的焦点在x轴上，∴0＜m＜5，∴1≤m＜5，即m的取值范围为[1,5)．[例2]已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．弦长问题[解]法一：∵直线l过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1(1,0)，且直线的斜率为2，∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由方程组2x－y－2＝0，x25＋y24＝1，得交点A(0，－2)，B53，43.|AB|＝xA－xB2＋yA－yB2＝0－532＋－2－432＝1259＝553.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组2x－y－2＝0，x25＋y24＝1的解．消去y得，3x2－5x＝0，则x1＋x2＝53，x1·x2＝0.∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x221＋k2AB＝1＋k2AB[x1＋x22－4x1x2]＝1＋22532－4×0＝553.[类题通法]当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．(2)求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋kx1－kx22＝1＋k2·x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，其中，x1＋x2，x1x2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程得到．[活学活用]椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝10，求椭圆的方程．解：∵e＝32，∴b2＝14a2.∴椭圆的方程为x2＋4y2＝a2.与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，由Δ＞0，得a2＞32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a2)]．∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为x236＋y29＝1.中点弦问题[例3]已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．[解]法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆的方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.∴x1＋x2＝8k4k－24k2＋1＝8，∴k＝－12.∴直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.法二：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x21＋4y21－36＝0，x22＋4y22－36＝0.两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴y1－y2x1－x2＝－12，即k＝－12.∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.[类题通法]解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②由①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.[活学活用]已知中心在原点，一个焦点为F(0，50)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．解：设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，由y2a2＋x2b2＝1及y＝3x－2得(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，x1＋x2＝12b2a2＋9b2，由已知x1＋x22＝12，即12b2a2＋9b2＝1，所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以得a2＝75，b2＝25，所以椭圆的方程为y275＋x225＝1.[典例](12分)(北京高考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为22.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．2.求解直线和椭圆的综合问题[解题流程][活学活用]如图，椭圆x216＋y29＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．解：由椭圆的方程x216＋y29＝1知，a＝4，b＝3，∴c＝a2－b2＝7.由c＝7知F1(－7，0)，F2(7，0)，又直线l的斜率k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为x－y＋7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x－y＋7＝0，x216＋y29＝1，消去x，整理得25y2－187y－81＝0.∴y1＋y2＝18725，y1y2＝－8125.∴|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝187252＋4×8125＝72225，∴S△ABF2＝12|F1F2|·|y1－y2|＝12×27×72225＝721425.[随堂即时演练]1．已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是()A．点(－2,3)在椭圆外B．点(3,2)在椭圆上C．点(－2，－3)在椭圆内D．点(2，－3)在椭圆上解析：由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上．答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，由y＝x＋1，x24＋y22＝1，得3x2＋4x－2＝0.x0＝x1＋x22＝12·－43＝－23，y0＝x0＋1＝13，∴中点坐标为－23，13.答案：C2．直线y＝x＋1被椭圆x24＋y22＝1所截得的弦的中点坐标是()A.23，53B.43，73C.－23，13D.－132，1723．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM|＝12|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2×5－6＝4.答案：44．直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．解析：由x2m＋y23＝1，y＝x＋2，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点，∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m＝12m2－12m＞0，解得m＞1或m＜0.又∵m＞0且m≠3，∴m＞1且m≠3.答案：(1,3)∪(3，＋∞)5．过点P(－1,1)的直线与椭圆x24＋y22＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①显然x1≠x2，故由①得kAB＝y1－y2x1－x2＝－x1＋x22y1＋y2.因为点P是AB的中点，所以有x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②把②代入①得kAB＝12，故AB的直线方程是y－1＝12(x＋1)，即x－2y＋3＝0.由x－2y＋3＝0，x24＋y22＝1，消去y得3x2＋6x＋1＝0.∴x1＋x2＝－2，x1x2＝13，|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋[kx1－x2]2＝1＋k2x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋14·243＝303.课时跟踪检测见课时达标检测(八)