加权余量法

§1.3变分原理、里兹法§1.3.1自然变分原理§1.3.2修正泛函的变分原理如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：•不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余量法求其近似解；•还可建立与之相等效的变分原理，基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。1.线性、自伴随微分算子§1.3.1自然变分原理微分方程()0~~Lubin~L为微分算子若~L具有性质：1212()()()~~~LuuLuLu则称~L为线性微分算子。线性、自伴随微分方程的定义：§1.3.1自然变分原理对上式分部积分，直至u的导数消失，得：*()()..(,)~~~~~~~~LuvduLvdbtuv边界项考虑积分()~~Luvd任意函数为*~L~L的伴随算子。称*~~LL若则称算子是自伴随算子。§1.3.1自然变分原理2.泛函的构造~~~~~~~~~()()0()0xAuLufxBuGalerkin（伽辽金）格式因为算子是线性、自伴随的，所以：~~~~~~~~~11()[()()]22TTTuLuuLuuLud§1.3.1自然变分原理~~~~~~~(())()0TTuLufduBud~~~~~~~~~11()[()()]22TTTuLuuLuuLud~~~~~~~~11[()()]..(,)22TTuLuuLudbtuu~~~~~~~~11[()()]..(,)22TTuLuuLudbtuu~~~~~1()..(,)2TuLudbtuu§1.3.1自然变分原理~~~~~~~(())()0TTuLufduBud~~~~~1()..(,)2TuLudbtuu~~~~~~~~()()0TTTuLudufduBud0~~~~~~1[()]..()2TTuLuufdbtu整理得到：§1.3.1自然变分原理微分方程的等效积分形式：某些问题的物理本质往往能够以变分原理的形式直接叙述出来。例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能量耗散原理，称为自然变分原理。3.自然变分原理§1.3.1自然变分原理对这类问题：~~~~~~~~()(,,...)(,,...)uFuudEuudxx~u是未知场函数，,~~FE为特定算子。包含及的1至m阶导数。~u~u连续介质问题的解：使泛函取极值（或驻值）。~u存在泛函，它是一个标量即：0(这种泛函我们称为单变量泛函，当然可以有多变量)§1.3.1自然变分原理()~u例：最小位能原理STTTVds~T~udV)f~u)~u(~)~u(~21()~u(VVTdV~~21UdVVSTTds~T~ufdV~u体系总位能应变能外力势能§1.3.1自然变分原理§1.3.1自然变分原理其中：()~~~~uLu~~~~~~DDLu~a~N......~a~N~a~N~a]~N......~N~N[~a~N~a~N~u~~unn2211n21n1iii近似解：§1.3.1自然变分原理1~~~naaa~a......~an1其中：待定参数向量（未知）~N......~Nn1试探函数矩阵（事先选定）iiiiNNNN000000~对三维问题：§1.3.1自然变分原理STTVTTTVTds~T~N~adVf~N~a~adV~N~LD)~N~L(~a21泛函：0~a~a......~a~a~a~ann2211变分：~a......~a,~an21相互独立，0~a,......,0~a,0~an210~a所以，或由：得到矩阵形式其中共有3n个方程，若为完备的函数系列则，时，收敛于精确解，若n为有限项，则为近似解。上述方法为Ritz法§1.3.1自然变分原理0~a~F~a~KdV~N~LD)~N~L(~KTVSTVTds~T~NdV~f~N~F~N......~Nn1n~u~~u~2）将代入Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法1.求解步骤：niiiaNuu1~~~~~1）假设近似解：~ia为待定参数，满足强制边界条件。~()~u~~u泛函的极值问题（求函数u），转化为求多元（）函数的极值问题。)~(u~a......~an1§1.3.1自然变分原理0~)~(~au~~~FaK3）求解线性代数方程组~au的近似解§1.3.1自然变分原理2.解的收敛性1）连续性要求满足阶连续性~iN1mC2）完备性要求取自完备的函数序列~iN§1.3.1自然变分原理§1.3.1自然变分原理3.特点1)近似解对全域而言2)试探函数要求满足一定的边界条件，近似解的精度与试探函数的选择有密切关系。3)待定系数任意，不表示特定的物理意义。4)如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适的试函数，可以说事半功倍，但缺乏一般性。~ia4.讨论：1）经典意义上的泛函变分理论只适应于线性自伴随微分方程。2）收敛性有严格的理论基础（泛函分析）。3）事先满足强制边界条件，则解有明确的上下界性质。如不事先满足，需要进行处理（约束变分原理）。§1.3.1自然变分原理但是未知函数往往还需要服从一些附加条件，我们把这些变分原理称之为“具有附加条件的变分原理”。0)),~(~,~()),~(~,~(duxuEduxuF~u~~~x0)u(C1.修正（约束）变分原理建立了自然变分原理后，问题的解为泛函取驻值。§1.3.2修正泛函变分原理约束条件可以将附加条件引入泛函，重新构造一个“修正泛函”，把问题转化为求修正泛函的驻值问题。常用方法：Lagrange乘子法，罚函数法。§1.3.2修正泛函变分原理原泛函的约束变分问题，转化为修正泛函*的无约束变分，代价是修正泛函增加了附加未知函数。~2.Lagrange乘子法(乘子法)duCuT)~(~~)~,~(*修正泛函*：§1.3.2修正泛函变分原理单变量泛函双变量修正泛函.d)~u(~C~d)~u(~C~TT*~~~~b~b~~m1iii§1.5变分原理近似解：，~~~~aN~a~Nu~un1iii线性§1.3.2修正泛函变分原理修正泛函的变分：§1.3.2修正泛函变分原理]~N,~N,~N[~Nn21]~,~,~[~21m~~2~1~naaaa~~2~1~mbbbb0*n,2,1i,0a~i*m,2,1i,0b~i*其中：可得：即的系数阵为0。所以方程中不含项，§1.3.2修正泛函变分原理m1iii~b~~~~bi00~~~~~~~21211211ppbaKKK~b对线性问题，得线性方程组；因为：m,2,1i,0b~i*整理得到§1.3.2修正泛函变分原理讨论（放松约束条件的代价）：1）很明显方程的阶数增加了。2）方程的系数矩阵主元（对角元素）出现零元素，对求解方程增加了困难。（不能用一般的消元法）3）一般的物理问题中得到的自然变分问题是一极值问题。而对修正的泛函，由于附加项的积分性质不清，一般为驻值问题。（不再有极值性质）4）利用乘子法，弹性力学各种变分原理的转换。§1.3.2修正泛函变分原理d)~u(~C)~u(~C)~u(T**0d)~u(~C)~u(~CT3.罚函数法修正泛函其中称为罚数正定的，对为极小值问题，取正数；值越大，约束条件满足的越好。(近似性越好)这种方法好处很明显，不增加任何未知函数。(是事先给定的)§1.3.2修正泛函变分原理y6x18yxy2x2Z220yx2**)yx(ZZ0xZ**0)yx(218y2x40yZ**0)yx(26y2x212x12y,,111512y例：极值问题（函数极值问题）约束条件，所以：解方程，得：§1.3.2修正泛函变分原理618yx111122224~P~a)~K~K(21~K1~K2上述方程可写为矩阵形式分析方程：来自原来的泛函，来自约束条件。而，必须是奇异，才有非零解。§1.3.2修正泛函变分原理~K20~K2~K1~K20~P1~a~K20~a~K2讨论：1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数2）为奇异阵相对可以忽略。§1.3.2修正泛函变分原理从实例中可见，为奇异的。实例计算中需证明的奇异性。~K2~K2§1.3.2修正泛函变分原理3）的取值问题太小，约束条件满足较差。太大，系数矩阵接近奇异，方程组病态。取值要合适。原则上要使的取值引起的不满足约束条件的误差，与前一项计算中的误差为同一量级为最好。一般取1012——1015。4）在有限元法中常用于引入位移边界条件。第1章有限单元法的理论基础——加权余量法和变分原理本章重点和应掌握的内容•微分方程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。•不同形式加权余量法中权函数的形式和近似解的求解步骤，以及Galerkin法的特点。•线性自伴随微分方程的变分原理的构造方法和泛函的性质，以及自然边界条件和强制边界条件的区别。•经典Ritz方法的求解步骤、收敛条件及其局限性•两种形式虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造方法。•从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径，各自的性质以及场函数事先应满足的条件等效积分形式等效积分“弱”形式泛函和变分原理强制边界条件第1章关键概念加权余量法Galerkin方法线性自伴随算子自然边界条件泛函的驻值和极值Ritz方法虚位移原理虚应力原理最小位能原理最小余能原理1.已知一个数学微分方程,如何建立它的等效积分形式?如何证明二者是等效的?第1章复习题3.不同形式的加权余量法之间的区别何在?除书中已列举的几种方法外,你还能提出其它形式的加权余量法吗?如能,分析新方法有什么特点.2.等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在?为什么后者在数值分析中得到更多的应用?4.什么是加权余量法的Galerkin方法,它有什么特点5.如何识别一个微分算子是线性自伴随的?识别它的意义何在?6.如何建立与自伴随微分方程相等效的泛函和变分原理?如何证明它的加权余量的Galerkin方法之间的等效性?7.自然边界条件和强制边界条件的区别何在?为什么这样命名?对于一个给定的微分方程,如何区分这两类边界条件?8.泛函在什么条件下具有极值性?了解泛函是否具有极值性的意义何在?9.什么是Ritz方法?通过它建立的求解方法有什么特点?Ritz方法收敛性的定义是什么?收敛条件是什么?10.Ritz方法的优缺点是什么?你能举例加以说明吗?11.虚功原理有哪两种不同形式?各和弹性力学什么方程相等效?你能准确地表述它们吗?12.什么是最小位能原理,它是如何导出的?场函数是什么?它事先应满足什么条件?对场函数的试探函数有什么要求?13.如何利用最小位能原理建立数值解的求解方程,解的收敛性和极值性的条件是什么?14.什么是最小余能原理?它是如何导出的?场函数是什么?它事先应满足什么条件?对场函数的试探函数有什么要求?15.如何利用最小余能原理,建立数值解的求解方程?方程有何特点?解的收敛性和极值性的条件是