单值函数的奇点解读

1单值函数的奇点孤立奇点若函数f(z)在某点不可导，但在该点的某一去心邻域内可导，则称该点为f(z)的孤立奇点。非孤立奇点若函数f(z)在某点不可导，且在该点的任一邻域内总有该点以外的奇点存在，则称该点为非孤立奇点。例4.170z是函数1()fzz的一个孤立奇点,而0z是函数11()sinfzz的一个非孤立奇点.2设zb是单值函数()fz的一个孤立奇点,则一定存在环域0zbR,()fz在该环域内可以展开Laurent级数()kkkfzCzb。这时级数可能出现三种情况：1、不含负幂项，b称为可去奇点。2、展开式含有m项负幂项，b称为m阶极点。3、含有无穷多项负幂项，b称为本性奇点。3例4.180z是函数20()1sin,21!nnnfzzzzzn的可去奇点;zn是函数()1sinfzz的一阶极点;0z是函数1()zfze的本性奇点.41、()fz以孤立奇点a为可去奇点的充要条件为以下三条中的任一条:a.()fz在a点没有主部．b.极限lim()zafz存在且有限．c.()fz在a点的某去心邻域内有界．判定孤立奇点的性质52、()fz以孤立奇点a为m阶极点的充要条件为以下三条中的任一条:a.()fz在a点的主部为1,0.kkkmmCzaCb.()fz在a点的某去心邻域内能表示成()()mfzzza,其中()z在a点的邻域内解析且()0a．c.1()()gzfz以a点为m阶零点．6推论：复变函数fz孤立奇点a的为极点的充要条件是lim.zafz3、孤立奇点a为函数f(z)的本性奇点的条件是函数在a点的极限不存在。例0z是函数1()zfze的本性奇点.例0z是函数2()1fzz的二阶极点.7若函数在b点的极限存在且有限，则b点是函数的可去奇点；若函数在b点的极限为，则b点是函数的m阶极点；所以当b点为本性极点时，函数在该点的极限为一不确定值，即极限不存在。利用极限判断奇点的类型8例4.19确定下列函数的孤立奇点及其类型。1221111.2.3.4.sincos14tan15.1zzzzezezzezzzz9设函数fz在点的某无心邻域rz内解析，则称无穷远点是该函数的一个孤立奇点。如函数sin()zfzz，当0z时，函数除无穷远点外别无奇点，即函数在0z内解析,故无穷远点是该函数的一个孤立奇点。无穷远点的性质前边讨论的都是奇点为有限远点的情况,现在我们讨论z的情况。10为了研究函数在无穷远点的性质,可以做变换1tz,把无穷远点变换到0z点:()1fzftt.如函数()t在0t的邻域t内解析，则()fz在无穷远点的邻域1zR解析；若()t在0t的邻域0t内解析，即0t是()t的孤立奇点，则()fz在1Rz中解析，即z为()fz的孤立奇点。11设()t在0t的去心邻域0t内的Laurent展开为10()'',0kkkkkktCtCtt．则函数()fz在无穷远点的Laurent展开为：1010()'',',1,2,;1kkkkkkkkkkkkkkfzCzCCCzCCkRzRzz主要部分正则部分12例4.20求sin()zfzz在孤立奇点无穷远点的Laurent展开。解:210201121!1,021!kkkkkkfzzzkzzk13无穷远点作为孤立奇点的分类(1)若()fz在无穷远点的Laurent展开式中不含正幂项，则z称为()fz的可去奇点。(2)若()fz在无穷远点的Laurent展开式中含有有限项（ｍ项）正幂项，则z称为()fz的（m阶）极点。(3)若()fz在无穷远点的Laurent展开式中含有无限项正幂项，则z称为()fz的本性奇点。141、()fz以孤立奇点∞为可去奇点的充要条件为以下三条中的任一条:a.()fz在∞点没有主要部分．b.极限lim()zfz存在且有限．c.()fz在∞点的某去心邻域内有界．152、()fz以孤立奇点∞为m阶极点的充要条件为以下三条中的任一条:a.()fz在∞点的主部为1,0.kkkkCzC．b.()fz在∞点的某去心邻域内能表示成()()mfzzz,其中()z在∞点的邻域内解析且()0．c.1()()gzfz以∞点为m阶零点．163、孤立奇点∞为函数f(z)的本性奇点的条件是如下两条件中的任意一条：（1）函数在∞的主要部分有无穷多项；（2）limzfz不存在。推论：复变函数fz孤立奇点∞的为极点的充要条件是lim.zfz17例4.21无穷远点是(a)1()sinfzzz的可去极点;（b）110nnnnnPzazaza的n阶奇点；（c）()zfze的本性奇点。18例4.22确定下列函数在无穷远点的性质。1221111.2.3.4.sincos14tan15.1zzzzezezzezzzz19TheEnd