双曲线的第二定义及其应用(精)

双曲线的第二定义及其应用课题：双曲线的第二定义及其应用课型：新课班级：高二（1）班时间：2002年12月31日授课人：潘际栋【教学目标】1、知识目标：进一步学习双曲线的几何性质，理解并掌握双曲线的第二定义，能运用双曲线的第二定义优化解题方法。2、能力目标：在与椭圆的第二定义的类比中获得双曲线的第二定义，能对知识进行归纳与迁移，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。3、情感目标：通过发挥类比联想的同时，注意培养学生有根有据、求同存异、实事求是的科学态度和品质，并从中去领略数学中的美。【教材分析】1、重点：双曲线的第二定义的的概念及推导。（解决方法：通过与椭圆的第二定义进行类比联想，使学生掌握它们的区别与联系）2、难点：正确运用双曲线的第二定义于解题中。（解决方法：通过变换题目、一题多解等手段进行巩固、归纳）【教学方法】直观发现和严格证明相结合，诱思探究的方法。【教学手段】多媒体演示【教学过程】（一）知识回顾椭圆的第二定义：平面内点M与一个定点F的距离和它到一定直线的距离的比是常数e（0e1）的点的轨迹是椭圆。问：若定义中的0e1换成e1，这时点的轨迹又是什么呢？（二）探索研究1、平面内，点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到直线2:alxc的距离的比是常数(0)ccaa，求点M的轨迹。首先通过《几何画板》演示，让学生有一个感性的认识，并从中观察出点的轨迹，然后进行求解。解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求的轨迹就是222222222222222222()||,.,()().,1(0,0).xcyMFccPMdaaaxccaxayacaxycababab集合由此得化简得设就可化为这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线。注：强调在求轨迹的过程中按照“五步法”的步骤进行。2、双曲线的第二定义（由学生归纳）平面内点M与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e(e1)，这个点M的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，它直线是双曲线的准线。对于双曲线22221xyab，相应于焦点F（c,0）的准线方程是2axc，根据双曲线的对称性，相应于焦点F′（－c,0）的准线方程是2axc，所以双曲线有两条准线。（三）例题分析例1：如果双曲线2216436xy上一点P到双曲线右准线的距离d等于8，求点P到右焦点F的距离|PF|。:648,366,643610||||10,,||1088abcPFcPFPFda解即点P到右焦点F的距离|PF|为10。如上题如何求P到左焦点F′的距离|PF′|？解：||PF′|－|PF||=2a，∴||PF′|－10=16，∴|PF′|=26方法二：双曲线左支上的点离右准线的距离的最小值2()14.48aac，故P点为双曲线右支上的点，∴P到左准线的距离26428220.8.10addc由双曲线的第二定义||10||10,,||26.820.88PFPFPFd即注：通过一题多解巩固双曲线中焦点与准线的“对应”关系。例2：已知点A（5，3），F（2，0），在双曲线2213yx上求一点P，使1||||2PAPF的值最小。解：∵a=1，b=3，∴c=2，e=2ca，设点P到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d，则||12,||2PFPFdd即在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P点纵坐标为3，∴所求的点为P（2，3）。（四）随堂练习1、双曲线22197xy上一点P到左、右焦点F1、F2的距离之比为1：2，求P到右准线的距离d.211222:3,7,4,||||26,||:||1:2,||124||12,,,9.3abcPFPFaPFPFPFcPFeddad解故2、如上题，试求P点的坐标。设P点的坐标为P（x,y），则2927||9,44axdc显然点P在双曲线的左支上，274550,(,).44xP可求得方法二：设点P（x,y）到左、右两准线的距离分别为d1、d2，12111222212||||||1,.3,7,4,||29,4914,,9242745527455(,)(,).4444PFPFdPFeabcdddPFaxcxdPdxP准线方程为又在双曲线的左支上可求得或六、课堂小结1、双曲线的第二定义；平面内到定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数e（e1）的点的轨迹叫做双曲线。定点为焦点，定直线称为准线，常数为离心率。2、运用第二定义解题时注意分清对应的焦点与对应的准线。七、布置作业课本P1147—8页。