高考解析几何复习专题

高考数学复习专题解析几何-交点法（高考全国卷解答题20题探究）解析几何专题-交点法1.数学思想：方程（组）思想2.问题特征：直线与圆锥曲线-相交弦3.途径方法：两式两线两法2问题特征★思想方法(1)特征量关联问题－方程(组)思想，化归转化思想(2)直线与圆锥曲线相交弦问题－交点法、点差法、设而不求法(3)关联特征(数形)转换－数量关系、位置关系、向量特征一、直线相关知识直线斜率、方程形式斜率：)0(,tank)(,212121xxxxyyk直线方程：①)(,Rkmkxy①注：斜率要存在，对可能不存在的情况要分类讨论②)(,Rmhmyx②注：该直线不含垂直y轴直线方向向量:),(nma③lyxxxkyyl),(),(:0000二、直线与圆圆：代数方程--几何特征代数方程：22020)()(:RyyxxC几何特征：①点与圆位置关系；②垂径特征；③三点共圆特征；)(2||22弦心距，ddRPQ⑤弦长：位置关系：④直径对圆周角特征（数、形）：垂直、勾股定理0:hnymxl直线与圆相离：相切：相交：RdRdRd2200||nmhnymxd三、圆锥曲线知识：概念-定义、方程圆锥曲线：定义与方程定义：方程：②双曲线：)0(,12222babyax③抛物线：)0||22(2||||2121FFcaaPFPF)0,0(,12222babyax)0(,22ppxy①椭圆：|)|22(2||||||2121FFcaaPFPF四、圆锥曲线：特征量、特征图形、特征关系圆锥曲线：特征量、特征图形、关系特征量：关系：①平方、比值等焦准距、通径、焦半径、焦点弦；，，，ecba关联特征：平行、垂直、对称、共圆、面积、特殊三角形、夹角相等、等距、向量关系等②拓展性结论特征图形：对称特征，直角三角形、平行四边形等特征图形五、圆锥曲线：特征图形★六、椭圆与抛物线椭圆：第二定义注意：①抛物线方程有四种形式；②焦半径对应四种不同表示方式焦半径：)1021(,||eiedPFii，、)(||,||210201FFexaPFexaPF，右焦点左焦点抛物线：定义1||edPF焦半径：)2:),((,2||2000pxyCyxPpxPF问题类型一、求曲线或轨迹方程问题--方程（组）思想应用（1）点与曲线-方程思想；（2）向量关系-特征转化；（3）特征量或特征量关系；（4）位置特征关系转化二、求特征量问题三、圆锥曲线定义应用问题-椭圆、双曲线或抛物线定义应用四、定点或定值问题--函数或方程思想，待定系数法思想五、位置特征问题--化归转化，数形转换，平面几何图形特征性质应用问题六、直线与圆锥曲线关系问题：弦长、中点、面积、对称、平行、垂直、夹角等七、探索性问题：含参数问题、最值问题、存在性问题等七、圆锥曲线问题类型思想方法一、方程（组）思想二、交点法--设而不求法、判别式法三、点差法--中点问题四、分类、整合思想五、化归转化法（特征转换法）六、待定系数法八、圆锥曲线问题解决--思想方法、手段途径关于交点法：直线与二次曲线方程联立得二元二次方程组，消元转化为一元二次方程；九、直线与圆锥曲线问题解决--两个重要方法21xx21xx21yy21yy繁与简问题交点法探究：①判别式；②根与系数关系：两根和、两根积（横坐标关系与纵坐标关系转换）；③数量关系转换（长度、角度、斜率、面积、向量关系或不等关系等转换）；④位置关系转换（平行或垂直或相交等）交点法、点差法直线与二次曲线C相交于弦PQ设关于交点法：交点法中的曲线与方程),(),(2211yxQyxP、l则：P、Q两点坐标满足二元二次方程组一次直线方程:l二次曲线方程:Cskxyl:或21xx21xxtmyxl:21yy21yy→←skxy11tmyx11设直线的方程：l直线与二次曲线C相交于弦PQ设关于交点法：交点弦-弦长公式),(),(2211yxQyxP、l则：P、Q两点坐标满足二元二次方程组一次直线方程:l二次曲线方程:Cskxyl:或tmyxl:212212111yykxxkPQ22d2:RC弦长＝为圆时曲线直线与二次曲线C相交于弦PQ设关于交点法：焦点弦-弦长公式),(),(2211yxQyxP、l当直线PQ过二次曲线焦点时，则称弦PQ为焦点弦skxyl:(2))0(2:2ppxyC)(221xxeaPQ1:2222byaxCskxyl:(1)PQ过左焦点加；过右焦点减pxxPQ)(21PQ过抛物线焦点F关于点差法：直线与二次曲线椭圆相交弦为线段PQ，其中点为M十、直线与圆锥曲线问题解决：中点弦问题2,221210yyyxxx),(),(),(002211yxMyxQyxP、、l1:2222byaxC设：则：1221221byax1222222byax0))(())((2212122121byyyyaxxxx0122bkkaPQOM22abkkPQOM常见关联数形特征--翻译转换十一、圆锥曲线问题：常见关联特征---翻译转换1、曲线过点或点在曲线上：2、线段长度或弦长3、角度或夹角：与轴(或直线)夹角关系4、三角形或四边形面积：表示方法与选择5、平行或垂直等特殊关系6、向量关系：共线：平面向量在基底下的线性分解：数量积：非向量特征转化为向量特征7、量值关系：平方关系、倒数关系、倍值关系等1、长(实)轴、短(虚)轴焦距、焦准距2、-几何意义3、通径4、焦半径5、焦点弦6、焦点三角形常见特征量；，，，ecba常见关联数形特征--翻译转换1、曲线过点或点在曲线上:2、平行3、垂直位置关系0),(0),(:),(0000yxFyxFCyxPDCBAkkCDABCDAB//0//),(),,(12212211yxyxbayxbyxa，若01DCBAkkCDABCDAB0),(),,(21212211yyxxbayxbyxa，若向量特征：共线(平行)或垂直常见关联数形特征--翻译转换4、相交或夹角：与轴(或直线)夹角关系6、中点或对称关系：位置关系0)(,2121llkkxyxll平行的直线平分或与轴或轴所成角被直线5、向量特征：共线（平行）或垂直0//1221yxyxDCBADCBA0),(),,(21212211yyxxbayxbyxa，若7、其他位置关系：常见关联数形特征--翻译转换8、线段长度或弦长:距离公式或弦长公式9、三角形(或四边形)面积：11、向量关系：向量模或向量的线性关系10、量值关系：平方关系、倒数关系、倍值关系等量值关系12、向量关系：非向量特征转化为向量特征sin21||212121mnxxmldSl★★十二、直线与圆锥曲线问题探究：交点法Ⅰ.问题类型：解答题第(Ⅱ)问（1）定点或定值问题（2）求长度、面积、特征量、曲线方程或参数值（3）最值或范围问题（4）证明关系式问题（5）探索性问题Ⅱ.思想方法、路径选择：1、方程（组）思想2、交点法（设而不求）3、化归转化4、路径选择、计算方法交点法小练与思考练习1若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围直线与曲线已知椭圆11222yx的左右焦点分别为21FF、，若过点P（0，-2）、F1的直线交椭圆于A,B两点，求2ABF的面积练习2面积公式表示方法交点法小练解析：练习1若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围解法一：由15122myxkxy可得05510)5(22mkxxmk，0152km即1152km51mm且法二：直线恒过一定点)1,0(当5m时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长mb，要使直线与椭圆恒有交点则1m即51m当5m时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长5a可保证直线与椭圆恒有交点即5m综述：51mm且化归转化：点与曲线动直线过定点，则定点在椭圆内交点法小练－方法与途径直线与曲线已知椭圆11222yx的左右焦点分别为21FF、，若过点P（0，-2）、F1的直线交椭圆于A,B两点，求2ABF的面积解法一：由题可知：直线ABl方程为022yx由1122222yxxy可得04492yy，91044)(2122121yyyyyy9104212121yyFFS法二：2F到直线AB的距离554h由1122222yxxy可得061692xx，又92101212xxkAB注：弦AB为焦点弦练习2交点法应用－步骤、方法与途径直线与二次曲线题例1已知椭圆)0(1:2222babyaxC过点)23,1(，且离心率为21；（1）求椭圆C的方程；（2）21,FF是椭圆C的两个焦点，⊙O是以21FF为直径的圆，直线mkxyl:与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若23BOAO，求k的值。注：已知直线方程，设点坐标类型1：已知直线方程交点法应用－步骤、方法与途径【解析要点】（1）由已知可得14912122baac3422ba134:22yxC（2）因为直线mkxyl:与⊙O相切，又⊙O122yx，所以：11||2kmd，即：221km由：13422yxmkxy01248)43(222mkmxxk，0)124)(43(4)8(222mkkm，所以：2243km而：222122143)3(4438kmxxkkmxx2212122121)())((mxxkmxxkmkxmkxyy22243)4(3kkm由：23BOAO，所以232121yyxx，2343)4(343)3(422222kkmkm234312127222kkm又：221km从而：212k，所以：22k★（2016-全国-丙Ⅲ-理）（20）（12分）（直线与抛物线，设而不求法，中点坐标公式，平行关系转换，方程思想，平面三角形面积，轨迹问题）已知抛物线C：22yx的焦点为F，平行于x轴的两条直线12,ll分别交C于AB，两点，交C的准线于PQ，两点．（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（II）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.平行特征面积表示2016－Ⅲ－文交点法应用－步骤、方法与途径注：设直线方程与点坐标类型2：设直线方程题例2典型题例（设直线方程）平行特征面积表示（1）)0,21(,2:2FxyC，准线方程：21x设),(),,(2211yxByxA，直线AB：21myx；则)2,21(),,21(),,21(2121yyRyQyP联立，可得1,201221212yymyymyy，又，),1(),,21(),,21(211yQFymxRAmR，而：02)()()2121())(1()21(21121121myyymymyymyx从而：FQAR//题例2典型题例（韦达定理应用）平行特征面积表示（2）设直线AB:hmyx，),(),(2211yxByxA，，线段AB中点为),(yxM联立：xyhmyx220222hmyy，则myy221，所以：my，又),(yxM在直线AB上，故点),(yxM满足：hyx2设直线PQ与x轴