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§07.直直线线和和圆圆的的方方程程知知识识要要点点一、直线方程.1.直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是)0(1800.注:①当90或12xx时,直线l垂直于x轴,它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地,当直线经过两点),0(),0,(ba,即直线在x轴,y轴上的截距分别为)0,0(,baba时,直线方程是:1byax.注:若232xy是一直线的方程,则这条直线的方程是232xy,但若)0(232xxy则不是这条线.附:直线系:对于直线的斜截式方程bkxy,当bk,均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果bk,变化时,对应的直线也会变化.①当b为定植,k变化时,它们表示过定点(0,b)的直线束.②当k为定值,b变化时,它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行:1l∥212kkl两条直线平行的条件是:①1l和2l是两条不重合的直线.②在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的.因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是:对于两条直线21,ll,它们在y轴上的纵截距是21,bb,则1l∥212kkl,且21bb或21,ll的斜率均不存在,即2121ABBA是平行的必要不充分条件,且21CC)推论:如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l∥212l.⑵两条直线垂直:两条直线垂直的条件:①设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k,则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在.②0121kll,且2l的斜率不存在或02k,且1l的斜率不存在.(即01221BABA是垂直的充要条件)4.直线的交角:⑴直线1l到2l的角(方向角);直线1l到2l的角,是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角,它的范围是),0(,当90时21121tankkkk.⑵两条相交直线1l与2l的夹角:两条相交直线1l与2l的夹角,是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角,又称为1l和2l所成的角,它的取值范围是2,0,当90,则有21121tankkkk.5.过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数,0222CyBxA不包括在内)6.点到直线的距离:⑴点到直线的距离公式:设点),(00yxP,直线PCByAxl,0:到l的距离为d,则有2200BACByAxd.注:1.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:21221221)()(||yyxxPP.特例:点P(x,y)到原点O的距离:22||OPxy2.定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212PPPPPP所成的比为即,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则1,12121yyyxxx特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角(0°≤<180°)、斜率:tank4.过两点1212222111),(),,(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式:.12()xx当2121,yyxx(即直线和x轴垂直)时,直线的倾斜角=90,没有斜率新疆学案王新敞⑵两条平行线间的距离公式:设两条平行直线)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl,它们之间的距离为d,则有2221BACCd.注;直线系方程1.与直线:Ax+By+C=0平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.(m∊R,C≠m).2.与直线:Ax+By+C=0垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.(m∊R)3.过定点(x1,y1)的直线系方程是:A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)4.过直线l1、l2交点的直线系方程:(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∊R)注:该直线系不含l2.7.关于点对称和关于某直线对称:⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.注:①曲线、直线关于一直线(bxy)对称的解法:y换x,x换y.例:曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a–x,2b–y)=0.二、圆的方程.1.⑴曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线C上的与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).⑵曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系,曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解;反过来,满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点.注:如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=02.圆的标准方程:以点),(baC为圆心,r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例:圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是:222ryx.注:特殊圆的方程:①与x轴相切的圆方程222)()(bbyax)],(),(,[bababr或圆心②与y轴相切的圆方程222)()(abyax)],(),(,[babaar或圆心③与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax)],(,[aaar圆心3.圆的一般方程:022FEyDxyx.当0422FED时,方程表示一个圆,其中圆心2,2EDC,半径2422FEDr.当0422FED时,方程表示一个点2,2ED.当0422FED时,方程无图形(称虚圆).注:①圆的参数方程:sincosrbyrax(为参数).②方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是:0B且0CA且0422AFED.③圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA(用向量可征).4.点和圆的位置关系:给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax(③M在圆C外22020)()(rbyax5.直线和圆的位置关系:设圆圆C:)0()()(222rrbyax;直线l:)0(022BACByAx;圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad.①rd时,l与C相切;附:若两圆相切,则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为公切线方程.②rd时,l与C相交;附:公共弦方程:设有两个交点,则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD.③rd时,l与C相离.附:若两圆相离,则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程.由代数特征判断:方程组0)()(222CBxAxrbyax用代入法,得关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为,则:l0与C相切;l0与C相交;l0与C相离.注:若两圆为同心圆则011122FyExDyx,022222FyExDyx相减,不表示直线.6.圆的切线方程:圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为:0220000FyyExxDyyxx.①一般方程若点(x0,y0)在圆上,则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地,过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.②若点(x0,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy,联立求出k切线方程.7.求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图:ABCD四类共圆.已知O的方程022FEyDxyx…①又以ABCD为圆为方程为0:0:222222111221FyExDyxCFyExDyxCABCD(a,b)2))(())((kbxyyaxxxAA…②4)()(222byaxRAA…③,所以BC的方程即③代②,①②相切即为所求.三、曲线和方程1.曲线与方程:在直角坐标系中,如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解(纯粹性);2)方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上(完备性)。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程,曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。2.求曲线方程的方法:.1)直接法:建系设点,列式表标,简化检验;2)参数法;3)定义法,4)待定系数法.-圆锥曲线方程考试内容:椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.考试要求:(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.(4)了解圆锥曲线的初步应用.§08.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义:为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF⑴①椭圆的标准方程:i.中心在原点,焦点在x轴上:)0(12222babyax.ii.中心在原点,焦点在y轴上:)0(12222babxay.②一般方程:)0,0(122BAByAx.③椭圆的标准参数方程:12222byax的参数方程为sincosbyax(一象限应是属于20).⑵①顶点:),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.②轴:对称轴:x轴,y轴;长轴长a2,短轴长b2.③焦点:)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.④焦距:2221,2baccFF.⑤准线:cax2或cay2.⑥离心率:)10(eace.⑦焦点半径:i.设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点,21,FF为左、右焦点,则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点,21,FF为上、下焦点,则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(000
本文标题:高中数学解析几何知识点总结
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