王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第2章课件

第2章线性控制系统的运动分析本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的性能。本章内容为1线性定常系统齐次状态方程的解2状态转移矩阵3线性定常系统非齐次状态方程的解4线性时变系统的运动分析5线性系统的脉冲响应矩阵8用MATLAB求解系统方程6线性连续系统方程的离散化7线性离散系统的运动分析2.1线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程为（1）（2）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法axxkktbtbtbtbbx332210假设其解为一幂级数（3）1232132kktkbtbtbb将（3）式代入（2）式)(2210kktbtbtbba)()(ttAxx这时系统的输入为零等式两边t的同次幂的系数相等，因此有0021201!11!2121bakabkbbaabbabbkkk而)0(0xbkkattaktaat!1!211e22因为则解为)0(e)0()!1!211()(22xxtaktaattxatkk（4）模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程（1）的解为kkttttbbbbbx332210（5）将（5）式代入（1）式1232132kktkttbbbb)(2210kktttAbbbb等式两边t同次幂的系数相等，因此有0021201!11!2121bAAbbbAAbbAbbkkkkk而)0(0xbA2211eIAAA2!!tkktttk记作则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为2211x()(IAAA)x(0)2!!kkttttk（6）则)0(e)(xxAtt（7）如果00t则)(e)(0)(0ttttxxA（8）将（8）式代入（1）式验证)()(e)()(0)(0tttdtdtttAxxAxxA)()(e)(00)(000tttttttxxxA和)(0ettA矩阵指数函数又称为状态转移矩阵，记作)(0tt)(tx)(0tx由于系统没有输入向量，是由初始状态激励的。因此，这时的运动称为自由运动。的形态由决定，即是由矩阵A惟一决定的。)(tx)(0ettA2.2状态转移矩阵线性定常系统齐次状态方程的解为)(e)(0)(0ttttxxA或)0(e)()(xxAtt其几何意义是：系统从初始状态开始，随着时间的推移，由转移到，再由转移到，……。的形态完全由决定。)(0tx)(01ettA)(1tx)(12ettA)(2tx)(tx)(0ettA2.2.1状态转移矩阵的基本性质1）AAAAAttteeedtd即AA)()()(ttt2）IA0e即I)0(3）可逆性ttAAee1即)()()(11ttt)()()(020112tttttt4）传递性)()()(020112eeettttttAAA即5）当且仅当时，有AB=BAttt)(eeeBABAAB(AB)eeettt如果时，则ABBA2.2.2状态转移矩阵的求法方法1根据定义，计算)(tkkttktttAAAIA!1!21e)(22方法2应用拉普拉斯变换法，计算)(tAxx对上式求拉普拉斯变换，得)()0()(sssAxxx)0()(][xxAIss][AIs如果为非奇异)0(][)(1xAIxss（9）)(txL)}0(]{[11xAIsL)0(][11xAIs（10）由微分方程解的唯一性ttAe)(L11[IA]s例2-2线性定常系统的齐次状态方程为21213210xxxx求其状态转移矩阵ttAe)(解2211221221112112213)2)(1(1321][11sssssssssssssssAI于是ttAe)(L2211222eeee[IA]2e2ee2etttttttts方法3应用凯莱-哈密顿定理，计算)(t凯莱-哈密顿定理：矩阵A满足自身的特征方程。nn0]det[)Δ(012211aλaλaλaλλλnnnAI即012211aλaλaλaλnnn证明：因为根据凯莱-哈密顿定理，有0)Δ(012211IAAAAAaaaannn10det(λ)λλ0naaI-A为特征方程的根，即有λi而det()det()0AI-A0所以，和位置可以互换。λiAidet(λ)I-A1i0λλ+0niaaI-AAAA012211aaaannn（11）例用凯莱-哈密顿定理计算1006293解096293det)Δ(2λλλλλ092AA由凯-哈定理：AA991009AA92AAA22399,,62939629399100所以根据凯莱-哈密顿定理，并且移项后，有：A2nA1nA（11）式表明：是、、、、的线性组合nAIA-AAAAAA0213211aaaannnn（12）将（11）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出：IA2nA1nAnA、、、都是、、、、的线性组合1nA2nAkkttktttAAAA!1!211e)(22112210)()()()(nntatatataAAAI（13）)(tai其中，，为待定系数。的计算方法为：)(tai)1(,10ni，，1）A的特征值互异Aiλ应用凯-哈定理，和都满足的特征方程。因此，也可以满足（13）式。iλA（注：第一次应用凯-哈定理，用）λiA（注：第二次应用凯-哈定理，用）λiA112210)()()()(eniniitλλtaλtaλtatai（其中，）ni,,2,1写成矩阵形式)()()(111eee11012122221121121tatataλλλλλλλλλnnnnnnntλtλtλn（14）于是tλtλtλnnnnnnnnλλλλλλλλλtatataeee111)()()(211121222211211110（15）例2-3线性定常系统的齐次状态方程为21213210xxxx用凯-哈定理计算其状态转移矩阵)(t解0)2)(1(2)3(det)Δ(λλλλλλAI11λ22λtttttttttλtλλλtata2222112110eee2ee1112ee2111ee11)()(21e即ttta20ee2)(ttta21ee)(ttttttttttttttttttttttttatat2222222222210e2ee2e2eeee2e3e3e2e2ee0ee200ee23210)e(e1001)ee2()()(e)(AIA2）A的特征值相同，均为1λ11110211311322211112321111111e00001(1)!()01(1)1e()(2)!1(1)(2)0013()2!()(1)01231!()1λtnλtnnnnnnnntnatnλtatnnnλλatatnλλλatλλλλλ11121e2!1e1!eλtλtλttt（16）证明：1210112111()()()()eλtnnatatλatλatλ上式两边都对求导，得11212111()2()(1)()eλtnnatatλnatλt132231112()6()(1)(2)()eλtnnatatλnnatλt111(1)!()eλtnnnatt上式两边再对求导，得1重复以上步骤，最后有：由上面n个方程，解出，即可得到（16）式。()iat对于3阶系统，特征值有重根的情况有以下2种：一，，3λ21λλ1λ201121()()λ()λtatatate3λ201323()()λ()λtatatate1λ121()2()λtatatte(下式对求导)1λ写成矩阵形式：113λ10λ2111λ2332012λ()1λλ()1λλ()tttatteateate即：1131λ01λ2111λ2233()012λ()1λλ()1λλtttatteateate1λ201121()()λ()λtatatate1111λ20λ11λ2211()002()012λ()1λλtttatteatteate二，123λλλ1λ121()2()λtatatte下式对求导，得：1λ下式再对求导，得：1λ1λ222()tatte写成矩阵形式：111λ20λ11λ2112002()012λ()1λλ()tttatteatteate3）A的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数可以根据（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出状态转移矩阵)(tai)(t求系统状态转移矩阵。例2-4线性定常系统齐次状态方程为xx452100010---解应用凯-哈定理计算)(t0)2()1(254det)Δ(223λλλλλλλAIA的特征值为121λλ23λtttttttttttttttλtλtλttttttλλλλλtatata22222112332111210eeee2e2e3ee2eee111223102eee421111210eee11210)()()(311于是tttttttttttttttttttttttttttttttttttttatatat2222222222210e4e3ee8e8e3e4e4e2e2e2ee4e5e3e2e2e2eeee2e2e3ee2)()()(e)(AAIA状态转移矩阵方法4通过线性