初中数学实数

第一讲实数一、实数的定义及分类1.定义:有理数和_______统称实数.2.性质:实数与数轴上的点_________.无理数一一对应3.分类:(1)按定义分类:0无限循环分数无理数无限不循环(2)按正负分类:实数分为正实数、__和负实数.二、实数的相关概念1.数轴:规定了原点、正方向、_________的直线.2.相反数:a的相反数是___,若a与b互为相反数,则a+b=__.0单位长度-a03.倒数:乘积为__的两个数互为倒数,a(a≠0)的倒数是__,0没有倒数.11a4.绝对值:(1)从“数”的角度看:|a|=(2)从“形”的角度看:一个数的绝对值就是表示这个数的点到_____的距离.(3)性质:|a|___0.若|a|+|b|=0,则a=__;b=__.a(a0)a(a0).，___＜原点≥00三、科学记数法与近似数1.科学记数法:把一个绝对值大于10的数记成______的形式,其中__≤|a|___,n的值等于整数部分的位数____.2.近似数与准确数的接近程度通常用精确度表示,近似数一般由四舍五入得到,_________到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.a×10n110减1四舍五入四、平方根、算术平方根、立方根名称定义表示方法性质平方根若x2=a,那么这个数x叫做a的平方根或二次方根数a的平方根记作:±1.正数有两个平方根,它们互为_______.2.0的平方根是__.3.负数_____平方根a相反数0没有名称定义表示方法性质算术平方根若正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根记作1.0的算术平方根是__.2.双重非负性:①被开方数a___0;②式子___0a0≥a≥名称定义表示方法性质立方根若x3=a,那么x叫做a的立方根数a的立方根记作:正数的立方根是_____;负数的立方根是_____;0的立方根是__3a正数负数0五、实数的运算种类实数的运算包括加、减、乘、除、___________乘方=__,其中a是底数,n是指数零、负整数指数幂a0=__(a≠0),a-p=___(a≠0)naaa个乘方、开方an1p1a运算顺序先算___________,再算_____,最后算_____,如果有括号,先算括号里边的.若没有括号,在同一级运算中,要_________进行运算运算律加法交换律a+b=____结合律(a+b)+c=________乘法交换律ab=___结合律(ab)c=______分配律a(b+c)=______乘方、开方乘除加减从左到右b+aa+(b+c)baa(bc)ab+ac考点一实数的分类【典例1】(1)(2015·扬州中考)实数0是()A.有理数B.无理数C.正数D.负数(2)(2015·通辽中考)实数tan45°,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1),其中无理数的个数是()A.4B.2C.1D.333180953，，，，，【思路点拨】(1)0既不是负数也不是正数.(2)根据无理数的概念进行判断.【自主解答】(1)选A.0既不是正数也不是负数,但实数0是有理数.(2)选D.在实数tan45°,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1)中,无理数有:,sin60°,0.3131131113…(相邻两个3之间依次多一个1),共3个.33180953，，，，，35【名师点津】无理数常见的四种类型(1)无限不循环小数,如2.121314….(2)开不尽方的数(根号型),如(3)具有特定意义的数,如π,(4)具有特定结构的数(构造型),如0.1010010001…(两个1之间依次增加一个0).329.，.2【题组过关】1.(2016·金华中考)如图是加工零件的尺寸要求,现有下列直径尺寸的产品(单位:mm),其中不合格的是()A.45.02B.44.9C.44.98D.45.01【解析】选B.由图可知,加工零件的直径尺寸范围是44.96～45.03mm,其中不合格的是44.9.【方法指导】正负数的理解三注意(1)对于正数与负数,不能简单地理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数.例如-a不一定是负数.(2)当数字的前面有多重符号时,注意要用相反数、绝对值等意义进行判断,如-|-2|是负数.(3)用正数与负数表示相反意义的量时,习惯上把增加、盈利等规定为正,它们相反意义的量规定为负,正、负是相对的,可以相互转化.2.(2016·烟台中考)下列实数中,有理数是()A.B.C.D.0.10100100018342【解析】选D.无限不循环小数为无理数,有限小数或无限循环小数为有理数,故为无理数,0.1010010001为有理数.38,4,23.(2015·遵义中考)在0,-2,5,,-0.3中,负数的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.根据负数的定义,-2,-0.3是负数,所以负数的个数是2.14考点二实数的相关概念【典例2】(1)(2016·凉山州中考)-的倒数的绝对值是()A.-2016B.C.2016D.-120161201612016(2)(2016·青岛中考)-的绝对值是()A.-B.-C.D.5(3)(2016·巴中中考)|-0.3|的相反数等于________.51555【思路点拨】(1)先求倒数再求绝对值.(2)负数的绝对值等于它的相反数.(3)先计算绝对值,再求其相反数.【自主解答】(1)选C.-的倒数是-2016,-2016的绝对值是2016.(2)选C.本题考查绝对值的概念,-的绝对值等于它的相反数,即|-|=.(3)-0.3的绝对值是0.3,0.3的相反数等于-0.3.答案:-0.312016555【名师点津】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数在这个数的前面加上“-”即可,需要化简的再化简.求一个数的倒数求一个非零整数的倒数,直接可写成这个数分之一的形式,即a的倒数为求一个分数的倒数,只要将分子、分母颠倒一下位置即可,即的倒数为.对于带分数先将其化为假分数,再求倒数求一个小数的倒数,应先将小数化为分数,然后再求倒数1abaab【题组过关】1.(2016·丽水中考)下列四个数中,与-2的和为0的数是()A.-2B.2C.0D.-【解析】选B.0-(-2)=0+2=2.122.(2016·泰安中考)如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是()A.pB.qC.mD.n【解析】选A.n+q=0,∴点N和点Q关于原点O对称,∴原点O为NQ中点,∴OPON=OQOM,∴P离原点最远.∴p的绝对值最大.3.(2016·威海中考)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则|a|-|b|可化简为()A.a-bB.b-aC.a+bD.-a-b【解析】选C.原式=a-(-b)=a+b.【方法指导】绝对值符号化简的方法首先判断绝对值符号里面的式子的正负情况;然后根据正负情况,把式子变成原式或其相反数.考点三平方根、算术平方根、立方根【典例3】(1)(2016·襄阳中考)-8的立方根是()A.2B.-2C.±2D.-(2)(2015·凉山州中考)的平方根是________.3281【思路点拨】(1)根据立方根的定义计算.(2)先求81的算术平方根,再求平方根.【自主解答】(1)选B.因为(-2)3=-8,所以-8的立方根为-2.(2)=9,9的平方根是±3,所以的平方根是±3.答案:±38181【名师点津】平方根与立方根的性质正数0负数平方根有两个平方根,它们互为相反数0没有平方根立方根有一个立方根0有一个立方根【题组过关】1.(2015·宜昌中考)下列式子没有意义的是()【解析】选A.负数不能开平方,所以选项A错误.2A.3B.0C.2D.12.(2016·毕节中考)的算术平方根是()【解析】选C.因为=2,所以,2的算术平方根为.38A.2B.2C.2D.23823.(2016·宁波中考)实数-27的立方根是________.【解析】∵(-3)3=-27,∴-27的立方根是-3.答案:-34.(2015·安顺中考)的平方根是________.【解析】的平方根是±.答案:±19191313考点四实数大小比较及无理数的估算【典例4】(1)(2016·北京中考)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是()A.a-2B.a-3C.a-bD.a-b(2)(2015·嘉兴中考)与无理数最接近的整数是()A.4B.5C.6D.7(3)比较大小:-3______.(填“”“”或“=”)315522【思路点拨】(1)数距离原点越远,绝对值越大.(2)先估计在哪两个整数之间,然后计算两个整数的平均数,与比较,做出判断.(3)比较与2和3的大小,再判断.31315【自主解答】(1)选D.由数轴可知,-3a-2,故A,B错误;1b2,-2-b-1,即-b在-2与-1之间,所以,a-b.(2)选C.∵253136⇒56,∴在5与6之间.313111112311211243102221131.211316316.2－－又－，，即与无理数最接近的整数是答案：＜523253530025253.2由于＜＜，所以－＜，＞，所以【名师点津】实数大小比较三方法(1)法则比较:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.(2)数轴比较:在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.(3)作差比较:若a-b0,则ab;若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b.【题组过关】1.(2016·淮安中考)估计+1的值()A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间【解析】选C.∵23,∴3+14,∴+1在3和4之间.7777【方法指导】无理数的估算方法(1)估算一个无理数介于哪两个整数之间(或求无理数的整数部分),如nn+1,可以采用同时平方的方法,即计算n2a(n+1)2,找到n的值即可.(2)若的整数部分为m,则其小数部分为-m.aaa2.(2016·聊城中考)在实数-,-2,0,中,最小的实数是()A.-2B.0C.-D.【解析】选A.∵正数大于0,0大于负数.两个负数,绝对值大的反而小,故0--2.1313133333.(2015·资阳中考)如图,已知数轴上的点A,B,C,D分别表示数-2,1,2,3,则表示数3-的点P应落在线段()A.AO上B.OB上C.BC上D.CD上5【解析】选B.由位于2和3之间可得3-位于0和1之间,符合条件的只有选项B.55考点五实数的运算【考情分析】实数的运算的层级为了解,但有理数的运算的层级为理解和运用,且有理数的运算法则及运算律在实数范围内同样适用,并且实数的运算在各地中考试题中均有体现,是实数的一个重要考向,与实数的相关概念、开方、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、新定义型计算等一起考查,各种题型均有涉及.命题角度1:有理数的运算【典例5】(2015·淮安中考)计算|-4|+23+3×(-5).【思路点拨】根据乘方的意义、乘法法则及有理数的混合运算法则进行计算.【自主解答】|-4|+23+3×(-5)=4+8+(-15)=12+(-15)=-3.【母题变式】(改变条件)改变幂的底数为-2(即(-2)3),则该题的计算结果是多少?提示:-19.命题角度2:与实数的相关概念有关的简单计算【典例6】(2015·大庆中考)求值:【思路点拨】根据开方、乘方的意义解答.【自主解答】原式=2015210.25()1.21111.244【母题变式】(改变条件)改变-1的指数为2016,则该题的计算结果是多少?提示:7.4命题角度3:与零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值结合考查【典例7】(2016·巴中中考)计算:2sin45°-3-2+011()22.201681【思路点拨】