2017届高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与剖析

第四节数系的扩充与复数的引入虚部a＝0且b≠0a＝c且b＝da＝c，b＝－da2＋b2平面向量OZ(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2iz2＋z1z1＋(z2＋z3)1．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i答案：C2．(教材习题改编)如果(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则x＝________，y＝________.答案：4－23．(教材习题改编)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．答案：3＋5i1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z20在复数范围内有可能成立．1．(2016·郑州质量预测)设i是虚数单位，若复数m＋103＋i(m∈R)是纯虚数，则m的值为()A．－3B．－1C．1D．3答案：A解析：依题意得m＋103＋i＝(m＋3)－i是纯虚数，于是有m＋3＝0，m＝－3.2．(2015·洛阳统考)设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．答案：2解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2.1．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且2＋ai1＋i＝3＋i，则a＝()A．－4B．－3C．3D．4解析：∵2＋ai1＋i＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，∴a＝4，故选D．答案：D2．(2016·九江模拟)设复数z＝2－i1＋i，则z的共轭复数为()A.12－32IB.12＋32iC．1－3iD．1＋3i解析：∵z＝2－i1＋i＝2－i1－i2＝12－32i，∴z－＝12＋32i．答案：B3．(易错题)(2015·洛阳统考)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z|＝()A.10B．2C.2D．1解析：依题意得(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝－32＋12＝10．答案：A4．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.答案：－21．(2016·长春质检)复数1－i2－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：1－i2－i＝35－15i，所以其共轭复数为35＋15i.所以对应的点位于第一象限.答案：A2．(2015·郑州质量预测)在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为()A．1＋2iB．1－2iC．－2＋iD．2＋i解析：依题意得，复数z＝5i1－2i1＋2i1－2i＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.答案：C3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC＝(3，－4)，OA＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根据OC＝λOA＋μOB得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.答案：11．(2015·湖南高考)已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：由1－i2z＝1＋i，得z＝1－i21＋i＝－2i1＋i＝－2i1－i1＋i1－i＝－1－i.答案：D2．(2016·吉林实验中学)设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝()A．1＋iB．1－iC．－1－iD．－1＋i解析：∵2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，故选A.答案：A3．已知复数z＝3＋i1－3i2，z－是z的共轭复数，则z·z＝________.解析：∵z＝3＋i1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i－21＋3i＝3＋i1－3i－21＋3i1－3i＝23－2i－8＝－34＋14i，故z＝－34－14i，∴z·z＝－34＋14i－34－14i＝316＋116＝14.答案：144．已知i是虚数单位，21－i2016＋1＋i1－i6＝________.解析：原式＝21－i21008＋1＋i1－i6＝2－2i1008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.答案：0[提醒]在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.