2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.7 数学归纳法课件 理

第六章不等式、推理与证明第七节数学归纳法基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。J基础知识自主学习知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。第1个值n0(n0∈N＋)k＋1基础自测[判一判](1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立。()解析错误。第一步验证当n取初始值n0时结论成立，但是n0不一定为1。(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明。()解析错误。不一定。(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用。()解析错误。归纳假设必须用。×××(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项。()(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23。()解析正确。解析错误。由n＝k到n＝k＋1时，项数不一定增加一项，如用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22时，当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增添的代数式为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2。×√[练一练]解析边数最小的凸多边形是三角形。答案C1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．02．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋16n－1(n∈N＋)，则f(1)为()A．1B.15C．1＋12＋13＋14＋15D．非以上答案解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋16n－1，∴f(1)＝1＋12＋13＋…＋16×1－1＝1＋12＋13＋14＋15。答案C3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立解析因为当n＝k(k∈N＋)时命题成立，则当n＝k＋1时，命题也成立。现n＝5时，命题不成立，故n＝4时命题也不成立。答案C解析n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k](2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)。答案B4．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1R热点命题深度剖析考点一用数学归纳法证明等式【例1】n∈N＋，求证：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n。【证明】(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12。左边＝右边。(2)假设n＝k时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2。＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋12k＋1＋12k＋1即当n＝k＋1时，等式也成立。综合(1)，(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立。【规律方法】用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值。(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明。变式训练1f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)。求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)。证明(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1。右边＝2(1＋12－1)＝1，左边＝右边，等式成立。(2)假设n＝k时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1k＋1]－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立。∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)。【例2】设实数c0，整数p1，n∈N*。(1)证明：当x－1且x≠0时，(1＋x)p1＋px；【证明】用数学归纳法证明。①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x21＋2x，原不等式成立。②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k1＋kx成立。当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx21＋(k＋1)x。所以p＝k＋1时，原不等式也成立。综合①②可得，当x－1且x≠0时，对一切整数p1，不等式(1＋x)p1＋px均成立。考点二用数学归纳法证明不等式(2)数列{an}满足a1c1p，an＋1＝p－1pan＋cpa1－pn，证明：anan＋1c1p。【证明】证法一：先用数学归纳法证明anc1p。①当n＝1时，由题设a1c1p知anc1p成立。②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式akc1p成立。由an＋1＝p－1pan＋cpa1－pn易知an0，n∈N*。当n＝k＋1时，ak＋1ak＝p－1p＋cpa－pk＝1＋1pcapk－1。由akc1p0得－1－1p1pcapk－10。由(1)中的结论得ak＋1akp＝1＋1pcapk－1p1＋p·1pcapk－1＝capk。因此apk＋1c，即ak＋1c1p。所以n＝k＋1时，不等式anc1p也成立。综合①②可得，对一切正整数n，不等式anc1p均成立。再由an＋1an＝1＋1pcapn－1可得an＋1an1，即an＋1an。综上所述，anan＋1c1p，n∈N*。证法二：设f(x)＝p－1px＋cpx1－p，x≥c1p，则xp≥c，并且f′(x)＝p－1p＋cp(1－p)x－p＝p－1p1－cxp0，xc1p。由此可得，f(x)在[c1p，＋∞)上单调递增。因而，当xc1p时，f(x)f(c1p)＝c1p。①当n＝1时，由a1c1p0，即ap1c可知a2＝p－1pa1＋cpa1－p1＝a11＋1pcap1－1a1，并且a2＝f(a1)c1p，从而a1a2c1p。故当n＝1时，不等式anan＋1c1p成立。②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式akak＋1c1p成立，则当n＝k＋1时，f(ak)f(ak＋1)f(c1p)，即有ak＋1ak＋2c1p。所以n＝k＋1时，原不等式也成立。综合①②可得，对一切正整数n，不等式anan＋1c1p均成立。【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法。(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明。变式训练2设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋1an(n＝1,2，…)。证明：an2n＋1对一切正整数n都成立。证明当n＝1时，a1＝22×1＋1，不等式成立。假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，ak2k＋1成立。那么当n＝k＋1时，a2k＋1＝a2k＋1a2k＋22k＋3＋1a2k2(k＋1)＋1。∴当n＝k＋1时，ak＋12k＋1＋1成立。综上，an2n＋1对一切正整数n都成立。考点三归纳——猜想——证明【例3】(2015·湖北高考题改编)已知数列{an}的各项均为正数，bn＝n1＋1nnan(n∈N＋)，e为自然对数的底数。计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2…bna1a2…an的公式，并给出证明。【解】b1a1＝1·1＋111＝1＋1＝2；b1b2a1a2＝b1a1·b2a2＝2·21＋122＝(2＋1)2＝32；b1b2b3a1a2a3＝b1b2a1a2·b3a3＝32·31＋133＝(3＋1)3＝43。由此推测：b1b2…bna1a2…an＝(n＋1)n。①下面用数学归纳法证明①。(ⅰ)当n＝1时，左边＝右边＝2，①成立。(ⅱ)假设当n＝k时，①成立，即b1b2…bka1a2…ak＝(k＋1)k。当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)1＋1k＋1k＋1ak＋1，由归纳假设可得b1b2…bkbk＋1a1a2…akak＋1＝b1b2…bka1a2…ak·bk＋1ak＋1＝(k＋1)k(k＋1)1＋1k＋1k＋1＝(k＋2)k＋1。所以当n＝k＋1时，①也成立。v根据(ⅰ)(ⅱ)，可知①对一切正整数n都成立。【规律方法】归纳—猜想—证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性。(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”，高中阶段该部分与数列结合的问题是最常见的问题。变式训练3数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N＋)，(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；解当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1。当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝32。当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝74。当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝158。由此猜想an＝2n－12n－1(n∈N＋)。(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想。解证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立。②假设n＝k(k≥1且k∈N＋)时，结论成立，即ak＝2k－12k－1。当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak。∴ak＋1＝2＋ak2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k＝2k＋1－12k＋1－1，∴当n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想对于任意n∈N＋，an＝2n－12n－1成立。解证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立。②假设n＝k(k≥1且k∈N＋)时，结论成立，即ak＝2k－12k－1。当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak。∴ak＋1＝2＋ak2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k＝2k＋1－12k＋1－1，∴当n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想对于任意n∈N＋，an＝2n－12n－1成立。S思想方法感悟提升⊙1种方法——寻找递推关系的方法(1)在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的。(2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置。(3)在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚。⊙3个注意点——运用数学归纳法应注意的三个问题(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值。(2)由题设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立