dsp_chap2 数字信号处理第二章PPT

第1章（2）离散系统的变换域分析——z变换2.1z变换和逆z变换2.2离散系统的系统函数与系统特性的描述2.4系统的频率响应与系统滤波特性2.3离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）12.1z变换和逆z变换2.1.1z变换的定义与收敛域1.z变换的定义对于离散时间信号x(n)，x(n)的z变换定义为()()nnXzxnz记为：()[()]XzZxn简称z变换。21≥0[][]00nnanxnaunn20≥0[]0nnxnan[1]naun例1已知两序列分别为分别求它们的z变换。解：1110()[]()nnnnXzxnzaz，11az||za它是几何级数，若时，级数收敛，于是，即111()1()zXzzazaaz同理122()[]()nnnnnXzxnzaz1111zzazaaz101nnnnnnazaz对于任意给定的有界序列x[n]，使z变换定义式级数收敛的z值的集合，称为z变换的收敛域（ROC）。比值判定法：若有一个正项级数nna11lim,11nnnaa收敛，发散，不能确定，根值判定法：若有一个正项级数nna1lim||,11nnna收敛，发散，不能确定，2.z变换收敛域按照级数理论，级数收敛的充分必要条件是绝对可和，因此，z变换收敛的充要条件为:()nnxnzM通常可以用两种方法求级数的收敛域——比值判定法和根值判定法。所谓根值判定法就是说若有一个正项级数，令正项级数一般项的n次根等于，即nnalimnnna当时级数收敛，时级数发散，时,级数可能收敛也可能发散。1116()nnxnzM要满足上述不等式，必须限定在一定的范围内，这个范围就称为z变换的收敛域(ROC)。z3.序列的类型与收敛域(1)有限长序列12,nn有限长序列是指在有限区间()之间内，序列具有非零的有限值，在此区间内，序列值都为零，即：12()0()0xnnxnnnn其它显然，z在区域，都满足此条件。0z7有限长序列的收敛域是否包含0点或者主要由序列的起始、终止位置和决定，收敛域可分为以下三种情况：①120,0nn当时（双边有限序列），收敛域为0z②当时（右边有限序列），收敛域为210nn0z1n2n③当时（左边有限序列），收敛域为120nn0zXX82）右边序列这类序列是有始无终的序列，即当nn1时x[n]=0。此时z变换为1()[]nnnXzxnz若满足即lim[]1nnnxnzlim[]nnzxn1xR则其级数收敛。其中为收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径的圆外部分。1xR1xR1xRRe()zIm()jz收敛域(b)收敛域1、n10n2=∞2、n10n2=∞1xRz1xzR1xR1xR11因果序列：在右边序列中，有一种特殊的右边序列，即的序列，这样的序列称为因果序列，即：()0,0()0,0xnnxnn10n其收敛域为：1xRz或简记为1xzR3)左边序列这类序列是无始有终的序列，nn2时x[n]=0。此时z变换为2()[]nnnXzxnz若令m=-n，上式变为2()[]mmnXzxmz如果将变量再改为n，则2()[]nnnXzxnz若满足lim[]1nnnxnz即21lim()xnnzRxn则该级数收敛。可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。2()[]nnnXzxnz1、n1=-∞n202、n1=-∞n2020xzR2xzR2xR2xR4）双边序列（无始无终序列）双边序列是从n=-∞到n=+∞的序列，一般可写为0[]nnxnz()[]nnXzxnz1[]nnxnz显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换迭加。那么当，X(z)的收敛域就为12xxRzR12xxRRn1=-∞n2=+∞1xR2xR12xxRzR[][][1]nnxnaunbun例2-3求双边指数序列的z变换，并确定它的收敛域（其中：a0,b0,ba）。1[][]nxnaun2[][1]nxnbun解：这是一个双边序列，令12[][][]xnxnxn则：由上例结果可以直接得到x1[n]与x2[n]的z变换，即11()[]nnzXzxnzzaza22()[]nnzXzxnzzbzbazbRe(z)jIm(z)ab181222()()()()()()abzzXzXzXzazbzazb例2-5已知某序列x(n)z变换X(z)的极点分布如图所示，试判断X(z)可能的ROC及对应序列x(n)的类型。Re(z)jIm(z)z1z2z3解：由于不同的收敛域对应不同的序列，因此有：(1)当，对应的序列x(n)为左边序列。1zz(2)当，对应的序列x(n)为双边序列。12zzz(3)当，对应的序列x(n)为双边序列。23zzz(4)当，对应的序列x(n)为右边序列。3zz1920典型离散序列的z变换（一）单位样值序列0()[]1nnXznz（二）单位阶跃序列1,(0)[]0,(0)nnn1,(0)[]0,(0)nunn0n1[]n211001()[],111nnnnzXzunzzzzz（三）斜变序列[][]xnnunu[n]01n1234220()nnXznz101[](1)1nnunzzzZx[n]0n1122334423上式两边分别对z-1求导，得111201()(1)nnnzz两边乘以z-1，得1120(1)nnznzz2(1)zz（四）指数序列1[][]nxnaun101(1)1nnzzz[]nunZ（1）右边指数序列(1)z24（2）左边指数序列2[][1]nxnaun0[],nnnnzaunazzazaZ01n12341[]xn(01)a251[1](),nnnnzaunazzazaZ0-1n2[]xn-2-3(1)a26（五）单边正、余弦序列x[n]01n12270jnnae0jae01jze令指数序列中，那么，00[][]jnjzxneunze1z00[][]jnjzxneunze1z000000201(cos)[]()[]2(cos)1()22cos1jnjnjjnuneeunzzzzzzzeze1z0020sin(sin)[]2cos1znunzz1z同理：典型序列的z变换收敛域z变换序列[]un[]n1[]naun1zz[]nun||1z||0zzza||||za1[1]naun1za||||za0cos[]nun2(1)zz||1z020(cos)2cos1zzzz||1zp.228表7.2-22.1.2z逆变换由z变换表达式X(z)以及相应的收敛域求原序列x(n)过程称为z逆变换，记为：1()[()]xnZXz求逆z变换的方法主要有三种：围线积分法、部分分式展开法和长除法。3.部分分式展开法当X(z)是z的有理分式时，一般可以表示为1110111201()()...()mmmmnnnnkBzbzbzbzbXzAzazaXzXzXzaazz然后对每一个部分分式求逆z变换，将各个逆变换相加，就可以得到所要求的x(n)。利用部分分式法求逆z变换，可通过以下几步完成：(1)将X(z)除以z,得到()Xzz(2)将展开成为部分分式之和的形式。()Xzz(3)将展开的部分分式乘以z,得到X(z)的部分分式表达式。(4)对各部分分式进行逆z变换，求出原序列。展开成部分分式的方法：()Xzz(1)仅含有单极点01,,...,nppp，则()Xzz展开为：0()niiiKXzzzp()()zpiiiXzKzpz30(2)()Xzz含有重极点设在()Xzz1zp处有r重极点，其余为单实极点01,,...,rnppp10111110.()..()rrniiriKKXzzzpKpzzKzpp其中待定系数可由以下关系求得1iK111111()[()](1)!nrnnzpdXzKzpndzz1,2,...,nr例已知22(),11.50.5zXzzzz试利用部分分式法求逆z变换。31122()1.50.510.5KKXzzzzzzz解：1120.5()[(1)]2()[(0.5)]1zzXzKzzXzKzz()2110.5Xzzzz2()10.5zzXzzz()2()0.5()nxnunun:1ROCz32例求的逆z变换。12(1)(2)(3)Xzzzz(12)z解：122121(1)(2)(3)123Xzzzzzzzzzz所以，2()2123zzzXzzzz[]2[](1)[]22[1]3[1]nnnxnnununun12[](1)[](23)[1]nnnnunun12z因为34补例：2(1)(),13,()(1)(3)zzXzzxnzz求222121322()(1)13(1)(3)(1)()(1)1()(1)1()(3)1(1)(),1313(1)(3)(1)()()()3(1)zzznXzzABCzzzzzzXzAzzdXzBzdzzXzCzzzzzzXzzzzzzzxnnununun=(1)()3(1)nnunun2.1.3z变换的基本性质例：求序列anu[n]-anu[n-1]的z变换。1212[][]xxyyxnXzRzRynYzRzR已知:ZZ[][1][][1]nnnnaunaunaunaunZZZ1()nnnzazzaza)0(1zazaazz1122[][]max(,)min(,)xyxyaxnbynaXzbYzRRzRR其中,a、b为任意常数。Z1.线性性质2.移位性12[()]();mxxZxnmzXRzzR如果则有：例2-11求序列x(n)=RN(n)=u(n)-u(n-N)的z变换。11[()],11[()],111[()]10,11NNNzZunzzzZunNzzzzzzZxnzzzz12[()](),xxZxnXzRzR363.z域微分（序列线性加权）推广式中符号表示mdzdzdzdzdzdzdzdzdzdz共求导m次。[]dnxnzXzdzZ[]mmdnxnzXzdzZ)1(12zzz1zzdzdz例：若已知，求斜变序列的z变换。[]un1zz[]nunZ解：[][]d