2017-2018学年湖北省荆门市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年湖北省荆门市高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.与2018°终边相同的角是（）A.38∘B.142∘C.−38∘D.−142∘2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A.𝑦=𝑥3B.𝑦=𝑥+1C.𝑦=−𝑥2+1D.𝑦=2−𝑥3.下列四式中不能化简为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗的是（）A.(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗)C.(𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗4.函数f（x）=x-sinx零点的个数（）A.1B.2C.3D.无数个5.函数y=cosxtanx（-𝜋2＜x＜𝜋2）的大致图象是（）A.B.C.D.6.一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（）A.𝜋3B.𝜋4C.𝜋6D.2𝜋37.已知函数f（x）=x2+log2x，则不等式f（x+1）-f（2）＜0的解集为（）A.(−3,−1)∪(−1,1)B.(−3,1)C.(−∞,−1)∪(3,+∞)D.(−1,1)∪(1,3)8.若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A.log𝑎𝑐log𝑏𝑐B.log𝑐𝑎log𝑐𝑏C.𝑎𝑐𝑏𝑐D.𝑐𝑎𝑐𝑏9.将函数𝑓(𝑥)=3𝑠𝑖𝑛(𝑥−𝜋3)的图象上的所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移m（m＞0）个单位后得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A.𝜋6B.𝜋3C.2𝜋3D.5𝜋610.如图在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E为边CD的中点，𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，若𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=−4则cos∠DAB=（）A.14B.√154C.13D.8911.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1，若初时含杂质2，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）A.8B.9C.10D.1112.已知函数𝑓(𝑥)={𝑥+3,−4≤𝑥0𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥,𝑥0（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,4)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(0,1)∪(1,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数y=f（x）的图象过点(12，4)，则f（-2）=______14.函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥−(23)𝑥+12的最小值是______15.已知向量𝑎⃗⃗=√3，𝑏⃗=1，𝑎⃗⃗+𝑏⃗=(−1，1)，则𝑎⃗⃗在𝑏⃗上的投影为______16.荆门城区某河道有一滚水坝，其截面图的上沿近似为正弦曲线（如图1），建立如图2所示的直角坐标系，设此正弦曲线为函数y=Asin（ωx+ϕ）+b(𝐴＞0，0＜𝜔＜3，𝜙≤𝜋2)图象的一段，根据图中所给数据，可以得到该函数的表达式为______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知角α的终边过点P（-1，2）．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)𝑠𝑖𝑛(𝜋2+𝛼)−𝑐𝑜𝑠(𝛼−3𝜋2)𝑠𝑖𝑛(−𝛼)2𝑠𝑖𝑛(3𝜋+𝛼)𝑐𝑜𝑠(−𝛼)+𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝜋2)𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝛼)的值．18.已知全集U=R，集合A={x9x-14-x2≥0}，B={x0＜log2x＜2}，C={xa-1＜x＜2a}．（I）求A∪B，（∁UA）∩B；（II）如果A∩C=∅，求实数a的取值范围．19.在平面直角坐标系内，已知A（0，5），B（-1，3），C（4，t）．（I）若t=3，求证△ABC为直角三角形．（Ⅱ）若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，求实数λ、t的值．20.我市某农村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费3元，月用电不超过50度时，每度0.5元；超过50度时，超出部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．（I）求方案一月收费f（x）元与用电量x（度）之间的函数关系；（II）李华家12月份按方案一交费64元，问李华家该月用电多少度？（III）李华家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？21.已知函数𝑦=√3𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜋4)（ω＞0）．（I）若𝜔=𝜋4，求函数的单调减区间和图象的对称轴．（Ⅱ）函数的图象上有如图所示的A、B、C三点，且满足𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，求函数在x∈[0，2上的最小值并求此时x的值．22.已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函数；又定义行列式∣∣∣𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4∣∣∣=a1a4-a2a3；函数g（x）=∣∣∣𝑠𝑖𝑛𝜃3−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑚𝑠𝑖𝑛𝜃∣∣∣（其中0≤𝜃≤𝜋2）．（I）证明：函数f（x）在（0，+∞）上也是增函数；（II）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值；（III）若记集合M={m恒有g（θ）＞0}，N={m恒有f[g（θ）＜0}，求M∩N．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵2018°=6×360°-142°，∴与2018°终边相同的是-142°．故选：D．直接由2018°=6×360°-142°得答案．本题考查终边相同角的集合的表示法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：逐一考查所给的选项：A．y=x3是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意；B．y=x+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增；C．y=-x2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意；D．y=2-x是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意．故选：B．由题意逐一考查所给函数的奇偶性和单调性即可求得最终结果．本题考查函数的单调性，函数的奇偶性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．3.【答案】C【解析】解：由题意得A：，B：=，C：，所以C不能化简为，D：，故选：C．由题意得A：，B：=，C：，D：；由以上可得只有C答案符合题意．解决本题的关键是熟练掌握数列的运算性质．4.【答案】A【解析】解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，由图得交点1个故函数f（x）=sinx-x的零点的个数是1．故选：A．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，利用图象得结论．本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用．在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断．5.【答案】B【解析】解：-＜x＜⇒cosx＞0，故函数y=cosxtanx=sinx，函数y=cosxtanx（-＜x＜）的大致图象是：B．故选：B．化简函数的解析式，然后判断函数的图象即可．本题考查三角函数的化简，函数的图象的判断，考查计算能力．6.【答案】D【解析】解：根据扇形的面积公式S=lr可得：3π=×2πr，解得r=3cm，再根据弧长公式l==2π，解得n=120°，扇形的圆心角的弧度数是120°×=rad．故选：D．首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果．本题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：不等式f（x+1）-f（2）＜0等价为f（x+1）＜f（2），∵f（x）=x2+log2x，∴f（-x）=（-x）2+log2-x=x2+log2x=f（x），则函数f（x）是偶函数，且当x＞0时，f（x）=x2+log2x为增函数，则不等式f（x+1）＜f（2）等价为f（x+1）＜f（2），∴x+1＜2且x+1≠0，即-2＜x+1＜2且x≠-1，则-3＜x＜1且x≠-1，∴不等式的解集为（-3，-1）∪（-1，1），故选：A．根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】B【解析】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴logca＜logcb．故选：B．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得y=3sin（2x-）的图象；再将所得图象向右平移m（m＞0）个单位后，可得y=3sin（2x-2m-）的图象．再根据所得到的图象关于原点对称，∴2m+=π，∈，即m=-，则令=1，可得m的最小值为，故选：B．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，=，∴=+=+，=-=-，∴•=（+）•（-）=--•=×32-×42-×3×4×cos∠BAD=6-8-8cos∠BAD=-4，∴cos∠DAB=．故选：A．根据向量线性运算和数量积公式，即可求出cos∠BAD的值．本题考查了平面向量的线性运算数量积公式应用问题，是基础题．11.【答案】B【解析】解：设至少需要过滤n次，则0.02×（1-）n≤0.001，即（）n≤所以nlg≤-lg20，即n≥=≈10.42，又n∈N，所以n≥11，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．故选：B．根据题意，设至少需要过滤n次，则0.02×（1-）n≤0.001，进而可建立不等式，由此可得结论．本题考查数列的应用，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：由题意，0＜a＜1时，显然成立；a＞1时，f（x）=logax关于y轴的对称函数为f（x）=loga（-x），则loga4＞1，∴1＜a＜4，综上所述，a的取值范围是（0，1）∪（1，4），故选：D．由题意，0＜a＜1时，显然成立；a＞1时，f（x）=logax关于y轴的对称函数为f（x）=loga（-x），则loga4＞1，即可得到结论．本题主要考查分段函数的应用，考查函数的解析式，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：设y=f（x）=xα（α为常数），∵幂函数y=f（x）的图象过点（，4），∴4=（）α，解得α=-2．∴f（x）=则f（-2）=．故答案为：．设y=f（x）=xα（α为常数），幂函数y=f（x）的图象过点（，4），解得α=-2，再代值计算即可．本题考查了幂函数的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】-12【解析】解：函数=1-cos2x-，其中≤1-cos2x≤，而0＜≤1，-1≤-＜0，∴-≤f（x）＜，且x=0时，f（x）=-，故答案为：-．根据三角函数以及指数函数的性质求出函数f（x）的最小值即可．本题考查了三角函数以及指数函数的性质，考查函数最值问题，是一道常规题．15.【答案】-1【解析】解：=（-1，1），，，==2，=-1，上的投影为=-1，故答案为：-1．由已知及向量数量积性质=可求，然后代入可求上的投影．本题主要考查了向量数量积的定义及向量投影的定义的简单应用，属于基础试题．16.【答案】y=2sin（𝜋6x+𝜋6）-1【解析】解：根据函数y=Asin（ωx+ϕ）+b图象的一段，可得A==2，b==-1，故y=2s