常微分方程1.1

第一章绪论函数是反映客观现实世界运动过程中量与量间的一种关系,一般用含自变量及这些自变量的函数的等式表示。但大量的稍复杂的实际问题，反映运动规律的量与量间关系不能直接给出,却较容易建立这些变量和它们导(微分)间的关系式。参考用书1.V.I.Arnold,GeometricMethodsintheTheoryofOrdinaryDifferentialEquations,SecondEdition,NewYork,Springer-Verlag,1983.2.P.Hartman,OrdinaryDifferentialEquations,NewYork,Wiley,1973.3.E.A.CoddingtonandN.Levison,OrdinaryDifferentialEquations,McGraw-Hill,1955.1.金福临,李训经.常微分方程.上海:上海科学技术出版社,1984.2.丁同仁,李承治.常微分方程教程.北京:高等教育出版社,1991.定义一个或几个包含自变量、未知函数及未知函数的某些导数（微分）的关系式，称为微分方程。§1.1常微分方程模型本节简单介绍一些有关社会、生化、力学、电学等方面的常微分方程模型.例1人口模型.英国人口统计学家Malthus于１７９８年在其著作《人口原理》中提出一著名的人口模型．此模型的给出是基于一个基本假设：人口自然增长过程中，净相对增长率r（生命系数）是常数．.dNrNdt所以得N(t)满足的微分方程()()(),NttNtrNtt因为在时间段t到t+Δt内人口数量N=N(t)的增长量是放射性物质质量的衰减、细菌的繁殖、溶液冲淡、密封容器抽真空及物质冷却的过程等问题均可导出这种形式的方程.但是Malthus模型(指数增长模型)只适用于人口总数不大,生存空间及食物等资源非常充裕时的情形.荷兰生物学家Verhulst通过引入常数(环境最大容纳量),将Malthus模型改进为mN(1),mdNNrNdtN这个模型称为logistic模型(阻滞增长模型).当与N相比很大时,则模型变为Malthus模型.mN可以求得logistic模型满足的解是0(0)NN0().1(1)mrtmNNtNeN例2R-L-C电路中,R、L、C为常数,电源e(t)为时间t的函数.求电流I应满足的方程.解经过R、L、C的电压分别为R·I、L·dI/dt、Q/C．根据Kirchhoff第二定律：在闭合回路中，电压的代数和为零，得(),dIQLRIetdtC微分上式,并注意到dQIdt得,以时间t为自变量,以电流I为未知函数的常微分方程221().dIRdIIdetdtLdtLCLdt同样方法可得RL电路,LC回路中电流强度I满足的微分方程.如果考虑双回路电路,那么可得一关于电流强度I的三阶导数的常微分方程.例3数学摆.上端固定于一点O的无伸缩的摆线(长为,质量忽略不记)下系质量为m的质点M.由此组成的单摆称为数学摆.确定数学摆的运动方程.l设运动开始后时刻为t时的单摆的偏离平衡位置的角是θ(规定逆时针方向为正).那么根据牛顿第二定律可得22sin,dmlmgdt即22sin0.dgdtl如果只研究摆的微小振动,那么有220.dgdtl如果摆是在一粘性介质(如液体)中运动,那么沿摆的运动方向存在一个与速度v成比例的阻力,设阻力系数为μ,则有22sin0.ddgdtmdtl如果沿摆的运动方向恒有一个外力作用于摆(称为强迫振动,如钟摆),那么摆的运动方程是221sin().ddgFtdtmdtlml若要确定摆的某一特定运动时,则应给出摆的初始状态(初始条件):00,()|tt初始位置00,()|tdtdt初始角速度注意到θ很小时,摆的运动方程与刻画电路中电流强度变化的方程形状一样.这表明完全无关的本质上不同的物理现象有时可用同类型的微分方程描述.因此,可用模拟方法研究物理或工程问题.如,用电路模拟某些力学、机械系统.例4传染病模型模型1(SI模型):1.假设疾病传播期间其地区总人数n不变.开始时刻(t=0)健康(易感染者Susceptible)人数为y(t),病人(已感染者Infective)数为x(t).2.设单位时间(如一天)内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比例,比例系数为k(传染系数).在上述假设下,我们可得如下SI模型:0(),(0).dxkyxkxnxxxdt这个模型的形状与logistic模型相同.这里没有考虑病人可以治愈的情况.无免疫性的传染病(如伤风、痢疾),病人治愈后会再次被感染.模型2(SIS模型):增加假设3.单位时间治愈率为μ.那么SI模型应修正为01()(),(0).dxkxnxxkxnxxxdt显然,为此传染病的平均传染期,为整个传染期内每个病人有效接触的平均人数(接触数).1k大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以,病愈的人既非健康者,也非病人,称他们为移出者(Removed).模型3(SIR模型):设在时刻t的愈后免疫人数为r(t),治愈率为常数.l根据假设,可得下述等式()()(),()(),()()()().xtytrtndrtlxtdtdxtdrtkytxtdtdt消去r(t)得,.dxkxylxdtdykxydt例5两生物种群生态模型意大利生物学家D’Ancona发现地中海各港口在第一次世界大战期间捕获到的捕食鱼(鲨鱼)占的百分比急剧增加.因无法解释为什么捕获量的减少更有利于捕食者,于是求助于他的朋友、著名的意大利数学家Volterra.Volterra建立了一个简单的数学模型(Prey-PredatorModel,食饵-捕食者模型,P-P模型),回答了D’Ancona的问题.模型的建立设食饵(被食鱼)和捕食者(鲨鱼)在时刻t的数量分别为x(t),y(t).因为被食鱼所需食物很丰富,假设当食饵独立生存时以指数规律增长,自然净相对增长率为a(a0),即,dxaxdt但因捕食鱼的存在,致使其增长率降低,设单位时间内食饵与捕食鱼相遇的次数为bxy(b0),因此().dxaxbxyxabydt捕食者离开食饵无法生存,设它独立存在时死亡率为c(c0),即dycydt而食饵的存在使捕食者的死亡率降低,且促使其增长,因此自然增长率与xy成正比,即dxy(d0,反映食饵对捕食鱼的供养能力),于是().dycydxyycdxdt最后我们得到反映食饵和捕食者之间依存与制约关系的P-P模型:(),().dxxabydtdyycdxdt此模型没有考虑种群自身的阻滞增长作用.设有甲,乙两种群,数量分别为x,y,则方程(),(),dxxabydtdyycdxdt(a,b,c,d都是正数)表示种群甲和乙竞争同一资源时的生长情况,称此方程为两种群竞争模型.如果b0,d0,则称它为共生模型.