《数学分析》第二十二章-曲面积分-4

第二十二章曲面积分§3高斯公式与斯托克斯公式2定理设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数),,(zyxP,),,(zyxQ,),,(zyxR在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式一、斯托克斯(stokes)公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式n是有向曲面的正向边界曲线右手法则xyzo),(:yxfzxyDCn证明设Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点,并Σ取上侧,有向曲线C为Σ的正向边界曲线在xoy的投影.且所围区域xyD.如图思路曲面积分二重积分曲线积分12dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos(代入上式得又,coscosyfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPycos)(dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)(即,)],(,,[dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyDyfzPyPyxfyxPy)],(,,[1cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy)],(,,[)],(,,[dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc)],(,,[即根椐格林公式平面有向曲线2,),,(dxzyxPdxdyyPdzdxzP空间有向曲线,),,(dyzyxQdydzzQdxdyxQ同理可证,),,(dzzyxRdzdxxRdydzyRdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx..故有结论成立.RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdsRQPzyxcoscoscos另一种形式}cos,cos,{cosn其中便于记忆形式Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形(当Σ是xoy面的平面闭区域时)例1计算曲线积分ydzxdyzdx,其中是平面1zyx被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.二、简单的应用0xyDxyzn111解按斯托克斯公式,有dzyxdyzdxdxdydzdxdydzdxdydzdxdydzxyDd3xyo11xyD23弦都为正，的法向量的三个方向余由于再由对称性知：如图xyDdzyxdyzdx例2计算曲线积分dzyxdyxzdxzy)()()(222222其中是平面23zyx截立方体:10x,10y,10z的表面所得的截痕,若从ox轴的正向看去,取逆时针方向.解取Σ为平面23zyx的上侧被所围成的部分.则}1,1,1{31nzxyon即,31coscoscosdsyxxzzyzyxI222222313131dszyx)(34ds2334xyDdxdy332.29)23(zyx上在xyD23yx21yx三、物理意义---环流量与旋度.),,(),,(),,(),,(按所取方向的环流量沿曲线称为向量场上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场设向量场CARdzQdyPdxsdACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACC1.环流量的定义:sdRQPzyxkjisdAC环流量利用stokes公式,有2.旋度的定义:.)(ArotRQPzyxkji为向量场的旋度称向量.)()()(kyPxQjxRzPizQyRRQPzyxkjiArot旋度斯托克斯公式的又一种形式其中,coscoscoskjin的单位法向量为kjitcoscoscos的单位切向量为dSyPxQxRzPzQyR]cos)(cos)(cos)[(dsRQP)coscoscos(斯托克斯公式的向量形式dstAdSnArotdsAdSArottn)(或其中cos)(cos)(cos)()(yPxQxRzPzQyRnArotArotncoscoscosRQPnAAtStokes公式的物理解释:向量场A沿有向闭曲线的环流量等于向量场A的旋度场通过所张的曲面的通量.(的正向与的侧符合右手法则)dsAsdArott环流量MvLo例3设一刚体绕过原点O的某个轴转动,其角速度),,(321,刚体上每一点处的线速度构成一个线速场,则向量OMrzyx,,在点M处的线速度rvzyxkji321解由力学知道点的线速度为M.22,2,2321观察旋度vrot由此可看出旋度与旋转角速度的关系.四、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzdsRQPzyxcoscoscosdstAdSnArot一、计算dzyzxzdyydx23,其中是圆周2,222zzyx若从z轴正向看去,这圆周是逆时针方向.二、计算dzxdyzdxy222,其中是球面2222azyx和园柱面axyx22的交线)0,0(za,从x轴正向看去,曲线为逆时针方向.三、求向量场jyxziyzA)cos()sin(的旋度.练习题四、利用斯托克斯公式把曲面积分dsnArot化成曲线积分,并计算积分值,其中A,及n分别如下:kxzjxyiyA2,为上半个球面221yxz的上侧,n是的单位法向量.五、求向量场kxyjyzxizxA233)()(沿闭曲线为圆周0,222zyxz(从轴z正向看依逆时针方向)的环流量.六、设),,(zyxuu具有二阶连续偏导数,求)(gradurot.练习题答案一、20.二、34a.三、jiArot.四、0.五、12.六、0.