高等数学下册电子教案

第四章常微分方程§4．1基本概念和一阶微分方程甲内容要点一．基本概念1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。二．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式：0yQyQxPdxdy通解CdxxPyQdy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：02211dyyNxMdxyNxM通解CdyyNyNdxxMxM12210,012yNxM2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程xyfdxdy令uxy，则ufdxduxudxdycxcxdxuufdu||ln（2）0,0bacbyaxfdxdy令ucbyax，则ubfadxducxdxubfadu（3）222111cybxacybxafdxdy①当02211baba情形，先求出00222111cybxacybxa的解,令xu，yv则uvbauvbafvbuavbuafdudv22112211属于齐次方程情形②当02211baba情形，令1212bbaa则211111cybxacybxafdxdy令ybxau11，则211111cucufbadxdybadxdu属于变量可分离方程情形。三．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程0yxPdxdy它也是变量可分离方程，通解公式dxxPCey，（c为任意常数）2．一阶线性非齐次方程xQyxPdxdy用常数变易法可求出通解公式令dxxPexCy代入方程求出xC则得CdxexQeydxxPdxxP3．贝努利方程1,0yxQyxPdxdy令1yz把原方程化为xQzxPdxdz11再按照一阶线性非齐次方程求解。4．方程：xyPyQdxdy1可化为yQxyPdydx以y为自变量，x为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。四．全微分方程及其推广（数学一）1．全微分方程0,,dyyxQdxyxP，满足yPxQ通解：Cyxu,，其中yxu,满足dyyxQdxyxPyxdu,,,求yxu,的常用方法。第一种：凑全微分法yxdudyyxQdxyxP,,,把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。（1）222yxdydyxdx；（2）222yxdydyxdx；（3）xydxdyydx；（4）xydxyxdyydxln；（5）2222ln21yxdyxydyxdx；（6）2222ln21yxdyxydyxdx；（7）xydxydxxdy2；（8）yxdyxdyydx2；（9）yxdyxxdyydxarctan22；（10）xydyxydxxdyarctan22；（11）yxyxdyxxdyydxln2122；（12）yxyxdyxydxxdyln2122；（13）22222121yxdyxydyxdx；（14）22222121yxdyxydyxdx；（15）22222arctan211yxdyxydyxdx；（16）22222arctan211yxdyxydyxdx；第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）yxyxdyyxQdxyxPyxuyxu,,0000,,,,yyxxdyyxQdxyxPyxu00,,,000第三种：不定积分法由yxPxu,得yCdxyxPyxu,,对y求导，得yCdxyxPyyuyxQ,,，求出yC积分后求出yC2．全微分方程的推广（约当因子法）设0,,dyyxQdxyxP不是全微分方程。不满足yPxQ但是存在yxR,使得0,,,,dyyxQyxRdxyxPyxR为全微分方程，也即满足yRPxRQ则yxR,称为约当因子，按全微分方程解法仍可求出yxdudyyxQyxRdxyxPyxR,,,,,通解Cyxu,。这种情形，求约当因子是关键。乙典型例题5432考研论坛（bbs.5432.net）友情提供下载一．变量可分离方程及其推广例1．求下列微分方程的通解。（1）022dyyxydxxxy（2）0dyeedxeeyyxxyx例2．求下列微分方程的通解。（1）xyedxdyxy（2）dxdyxydxdyxy22（3）xyydxdyxlnln（4）214yxdxdy解：（1）令uxy，则dxduxudxdy，原方程化为uedxduxuu，1CxdxeduuCxCxeulnln1Cxexyln（注：10,0Cxexy）（2）022dxdyxyxy；2221xyxyxxyydxdy令uxy，则12uudxduxu01duuxudx11Cxdxduuu1lnCuxuuuCCeexu1，xyCey（3）xyxydxdyln，令uxy，则uudxduxuln11lnCxdxuuduCxuln1lnlnCxu1ln，Cxeu1，Cxxey1（4）令uyx14，则dxudu142，1214CdxuduCyxCux142arctan212arctan21例3．求微分方程22yxydxdyx的通解。例4．求微分方程22yxxydxdy例5．求微分方程232211ydxdyxxy的通解。例6．求微分方程2222yxyxxyydxdy的通解。例7．求微分方程2122yxydxdy例8．求微分方程51xyxydxdy的通解二．一阶线性方程及其推广例．求下列微分方程的通解（1）25112xxydxdy（2）xydxdyxsin2（3）4yxydxdy（4）0tansinydxdyyx解：（1）直接用常数变易法对应的齐次线性方程为12xydxdy，通解21xCy令非齐次线性方程25112xyxdxdy的通解为21xxCy代入方程得25211xxxC211xxC，CxxC23132故所求方程的通解为22722311321132xCxxCxy（2）直接用通解公式（先化标准形式xxyxdxdysin2）xxP2，xxxQsin通解Cdxexxeydxxdxx22sinCxxxxCxdxxxcossin1sin122（3）此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程yyxdydx4即31yxydydx是一阶线性方程yyP1，3yyQCyyCdyeyexdyydyy413131（4）此题把x看作未知函数，y看作自变量所得微分方程为yxydydxcoscot，yyPcot，yyQcosCyyCdyyeexydyydy2cotcotsin21sin1cos§4．2特殊的高阶微分方程（数学四不要）甲内容要点一．可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式xfyn通解nnnnnnCxCxCxCdxxfy12211次yxfy,令py，则py，原方程pxfp,——一阶方程，设其解为1,Cxgp，即1,Cxgy，则原方程的通解为21,CdxCxgy。yyfy,令py，把p看作y的函数，则dydppdxdydydpdxdpy把y，y的表达式代入原方程，得pyfpdydp,1——一阶方程，设其解为,,1Cygp即1,Cygdxdy，则原方程的通解为21,CxCygdy。二．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程0yxqyxpy（1）二阶非齐次线性方程xfyxqyxpy（2）1．若xy1，xy2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合xyCxyC2211（1C，2C为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当xyxy21（为常数），也即xy1与xy2线性无关时，则方程的通解为xyCxyCy22112．若xy1，xy2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则xyxy21为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3．若xy为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xy为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则xyxy为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xyCxyC2211为对应的二阶齐次线性方程的通解（1C，2C为独立的任意常数）则xyCxyCxyy2211是此二阶非齐次线性方程的通解。5．设xy1与xy2分别是xfyxqyxpy1与xfyxqyxpy2的特解，则xyxy21是xfxfyxqyxpy21的特解。三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1．二阶常系数齐次线性方程0qyypy其中p，q为常