1第一讲数的整除(培优)

知识要点1.能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.2.能被5整除的数的特征：个位数字是0或5的整数.3.能被3（或9）整除的数的特征：各个数字之和能被3（或9）整除.4.能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除.能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除.知识要点5.被11整除的数的特征是：一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数.6.能被7，11，13整除的数的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数的差能被7，11，13整除。典例精析解：能被3整除的数的有123234345567336439264296能被9整除的有234567439264296能被4整除的有336439264296nm例题1、下面各数中哪些能被3整除，哪些能被9整除，哪些能被4整除？123234345567336439264296根据特征3根据特征4根据特征3典例精析解：能被4整除的数有47657679212883456667617049220228能被7整除的数有47612888638170492能被8整除的数有57679212883456能被13整除的数有159920228nm例题2、下面各数中哪些能被4整除，哪些能被7整除，哪些能被8整除？哪些能被13整除？4765767921288345666768638159917049220228根据特征3根据特征6根据特征4根据特征6典例精析解：∵173a能被9整除，∴1+7+3+=11+a能被9整除，∴a=7；∵173a能被11整除，∴（7+a）-（3+1）=3+a能被11整除，∴a=8；∵173a能被6整除，∴a是偶数且1+7+3+a=11+a能被3整除，∴a=4;∴综上所述：数学老师先后所取的三个数字的和是7+8+4=19.nm例题3、173a是一个四位数，数学老师说：“我们把a取三个不同的数，所得的三个四位数，依次可以被9、11、6整除”。问：这先后所取的三个数字的和是多少？_____173a典例精析解：∵27ab能被2、5整除，∴可以判定b=0。又∵27ab又能被4整除，∴可能是00，20，40，60，80.∵又27ab能被9和3整除，可以判定a=0.∴27ab=2700.nm例题4、一个四位数27ab能同时被2，3，4，5，9整除，则这个四位数是多少？典例精析解：∵1x2x3x4x5能被11整除，∴(1+2+3+4+5)-4x=15-4x能被11整除或者4x-15能被11整除；又∵x是大于等于0，小于等于9的整数，∴只有x=1满足条件。∴这个整数为112131415。nm例题5、已知1x2x3x4x5整数能被11整除，求所有满足这个条件的整数。典例精析nm解：因为65=5×13，又因为5和13互素，所以既能被5整除又能被13整除。能被5整除，可以得出y=0或5；当y=0时,x=7；当y=5时，x=9；所以满足条件的六位数是917930和919935.例题6、已知能被65整除，求满足条件的六位数(k(k9193xy9193xy9193xy9193xy特征2特征6特征6典例精析nm解法一：设这个三位数是，根据题意可知这个六位数.因为=0，所以能被7，11，13整除。即任意三位数连写一次得到的一个六位数能被7，11，13整除.例题7、任意三位数连写一次得到的一个六位数是否能被7，11，13整除？(k(kabcabcabcabcabcabcabc特征6典例精析nm解法二：设这个三位数是，根据题意可知这个六位数.因为所以由整除的性质，可知能被7，11，13整除.即任意三位数连写一次得到的一个六位数能被7，11，13整除.例题7、任意三位数连写一次得到的一个六位数是否能被7，11，13整除？(k(kabcabcabcabc100013117abcabcabcabcabcabc例题8：某数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，满足以上条件的数有多少个？最小的一个数是几？解：这个数，加上1，就能同时被2,3,4,5整除2,3,4,5的最小公倍数为60满足要求的最小的数为：60-1=59这样的数有无数多个59再加上60的整数倍，都满足要求例如：59+60=11959+60*2=179典例精析典例精析解：∵（1625，1170）=5×13（方法一）∵ＡＢ：1625÷65=25，ＢＣ：1170÷65=18∴25+18+1=44∴这条街道最少要安装44盏路灯．（方法二）∵ＡＢ：1625÷65=25，ＢＣ：1170÷65=18∴（25＋１）+（18+1）－１=44∴这条街道最少要安装44盏路灯．（方法三）∵ＡＢ＋ＢＣ：（１６２５＋１１７０）÷６５＝４３∴４３＋１＝４４∴这条街道最少要安装44盏路灯．nm例题9．如图，街道ABC在B处拐弯，在街道的一侧要等距离安装路灯，并要求在A、B、C处各安装一盏路灯，问这条街道最少要安装多少盏路灯？小试牛刀练习1：下面各数中哪些能被4整除，哪些能被9整除，哪些能被11整除？439276438445203906464296938124小试牛刀练习2、四位数57a1能被9整除，求a.小试牛刀练习3、已知15能x931y整除，求满足条件的5位数。小试牛刀练习4：动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果只分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得20粒．那么花生同时分给三群猴子，平均每只猴子可得多少粒？小试牛刀练习5：一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米，原来每隔2米一棵，由于小树长大了，要改为每隔5米一棵，如果两端不算，中间有几棵不必移动？