1.2.1余弦定理(55张PPT)

第一章解三角形系列丛书进入导航第一章解三角形第一章解三角形系列丛书进入导航1.1正弦定理和余弦定理人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航1．1.2余弦定理课时作业课前自主预习课堂互动探究随堂知能训练人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航1.了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论．2．能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航课主自前预习课前预习·········································明确目标人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即新知初探人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航若a，b，c分别是△ABC的顶点A，B，C所对的边长，则a2＝__________________，b2＝__________________，c2＝__________________.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航2．余弦定理的推论余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是cosA＝_____________，cosB＝_____________，cosC＝_____________.b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔____________，角A为锐角⇔____________.a2b2＋c2a2＝b2＋c2a2b2＋c2人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航3．利用余弦定理可解决的两类问题余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求_____；(2)已知两边和它们的夹角，求__________________．各角第三边和其他两个角人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理是否能求出其他元素？思考感悟人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航提示：能．已知三角形两边与一角有如图所示的两种情况：人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航图①中已知角A和边a，b，可先由正弦定理先求角B和角C，继而可求边c.图②中已知角A和边b，c，可先由余弦定理求边a，继而可由正弦定理求角B和角C.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角的范围讨论解的情况．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航3．怎样用余弦定理判断三角形的形状？提示：(1)在△ABC中，若a2b2＋c2，则0°A90°；反之，若0°A90°，则a2b2＋c2.(2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.(3)在△ABC中，若a2b2＋c2，则90°A180°；反之，若90°A180°，则a2b2＋c2.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航课动互堂探究例练结合·········································素能提升人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航类型一利用余弦定理解三角形[例1]在△ABC中，已知b＝3，c＝23，A＝30°，求边a、角C和角B.典例导悟人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[解]直接应用余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(23)2－2×3×23×cos30°＝3，∴a＝3.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝32＋232－322×3×23＝12.∴B＝60°，∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[点评]1.解三角形时，应先分析题设条件，如本题属于“SAS”型，先用余弦定理求a，在此基础上，可以利用余弦定理计算角B或C的余弦值，也可以利用正弦定理计算角B或C的正弦值．2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”型及“SSS”型．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航变式训练1已知在△ABC中，a:b:c＝2:6:(3＋1)，求△ABC的各角度数．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航解：∵a:b:c＝2:6:(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k0)．由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6＋3＋12－42×6×3＋1＝22，∴A＝45°.cosB＝a2＋c2－b22ac＝4＋3＋12－62×2×3＋1＝12，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航类型二判断三角形的形状[例2]在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．[分析]首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两个角的关系，即可判断．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[解]∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc.又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则2cosA＝1，∴A＝60°.又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.又∵B＋C＝120°，∴△ABC是等边三角形．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[点评]判断三角形形状的方法(1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三边的关系；(2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和定理得到内角关系，从而判定形状．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航变式训练2在△ABC中，已知cos2A2＝b＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航解：在△ABC中，由已知cos2A2＝b＋c2c得1＋cosA2＝b＋c2c，∴cosA＝bc.根据余弦定理得b2＋c2－a22bc＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航类型三正、余弦定理的综合应用[例3]如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[分析]将四边形ABCD分成△ABD和△BCD，在△ABD中，用余弦定理求出BD，在△BCD中，用正弦定理即可解出BC.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[解]在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60°，即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.在△BCD中，由正弦定理得BC＝16sin135°·sin30°＝82.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[点评]在一些复杂的图形问题中，我们要善于分析图中哪些三角形的条件足够求解该三角形，哪些三角形的条件还不够求解该三角形，对那些条件不够的三角形要去探索它与其他三角形之间的联系，有时也可直接设出其中的边和角，然后列方程(组)求解．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航变式训练3如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB:AC＝7:8，sinB＝437，求BC边上的高AD的长．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得7xsinC＝8xsinB，∴sinC＝7xsinB8x＝78×437＝32.∴C＝60°(C＝120°舍去，由8x7x，知B也为钝角，不符合要求)．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航由余弦定理得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x·15cos60°，∴x2－8x＋15＝0.∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在△ABD中，AD＝ABsinB＝437AB，∴AD＝123或AD＝203.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航易错点：忽视构成三角形的条件[错题展示]已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．自我纠错人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[错解]∵cba，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝k2＋k＋22－k＋422kk＋2＝k2－4k－122kk＋20.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航∴k2－4k－120，得－2k6.又k为三角形的边长，∴k0.综上所述，0k6.[错因分析]忽略了三边k，k＋2，k＋4构成三角形的条件．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[正解]∵cba，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝k2－4k－122kk＋20.∴k2－4k－120，得－2k6.由两边之和大于第三边，得k＋(k＋2)k＋4.∴k2.综上所述，2k6.人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航[要点提示]在解三角形的有关问题时，要充分利用三角形的隐含条件，如内角和为π，内角范围为(0，π)，又如两边之和大于第三边等，否则会发生错误．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航1．解斜三角形时，要注意将正弦定理与余弦定理有机地结合起来，要根据条件灵活选用正、余弦定理．2．要注意三角形中常见的结论：(1)A＋B＋C＝π；(2)sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2；思悟升华人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；(4)大边对大角，反之亦然；(5)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航3．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．人教A版·数学·必修5第一章1.11.1.2系列丛书进入导航随能知堂训练知识反馈·································