5.1 李雅普诺夫稳定性的定义

Ch.5李雅普诺夫稳定性分析本章简介(1/2)本章简介本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造、李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。本章简介(2/2)最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算与程序设计。目录(1/1)目录概述5.1李雅普诺夫稳定性的定义5.2李雅普诺夫稳定性的基本定理5.3线性系统的稳定性分析5.4非线性系统的稳定性分析5.5Matlab问题本章小结概述(1/5)概述一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力;电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。概述(2/5)也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;为任意小的规定量。如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。)(Limtxt概述(3/5)分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题。对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据。在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。概述(4/5)再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身,往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫稳定性定理。概述(5/5)实际上,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。经典控制理论讨论的确有界输入有界输出稳定即为外部稳定性。内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性,即系统的内部状态稳定性。本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。概述(6/5)早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（AleksandrMikhailovichLyapunov，1857–1918)发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。百余年来,李雅普诺夫理论得到极大发展,在数学、力学、控制理论、机械工程等领域得到广泛应用。李雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。概述(7/5)第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。概述(8/5)李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且也能用来研究时变系统、非线性系统,甚至离散时间系统、离散事件动态系统、逻辑动力学系统等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。概述(9/5)可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得到了进一步研究和发展。本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫第一法和第二法的理论及应用。概述(10/5)本章需解决的问题:动态系统的状态稳定性理论--李雅普诺夫稳定性基本概念:平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、不稳定性基本方法:李雅普诺夫第一法、李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法在线性定常系统的应用--李雅普诺夫方程的求解重点喔！重点与难点喔！李雅普诺夫稳定性的定义(1/4)5.1李雅普诺夫稳定性的定义系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和表示的定性指标。它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系统变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制。这也是控制理论和控制工程的精髓。在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有界输出的输入输出稳定性问题。从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关,而非线性系统则不然。李雅普诺夫稳定性的定义(2/4)非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的,我们很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。对于非线性系统,其不同的平衡态有着不同的稳定性,故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。对于稳定的线性系统,由于只存在唯一的孤立平衡态,所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论,不仅适用于线性定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。本节先讨论李雅普诺夫稳定性理论的基础--李雅普诺夫稳定性定义。李雅普诺夫稳定性的定义(3/4)本节主要讨论李雅普诺夫意义下的各种稳定性的定义和意义。本节主要问题为:基本概念:平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、大范围渐近稳定性、不稳定性基本方法:求解平衡态方法要掌握好李雅普诺夫稳定性理论,重要的是深刻掌握和理解李雅普诺夫稳定性定义的实质和意义。在这里,空间想象力对理解李雅普诺夫稳定性的实质和意义非常有帮助。李雅普诺夫稳定性的定义(4/4)下面将分别介绍如下李雅普诺夫稳定性有关定义。平衡态李雅普诺夫意义下的稳定性渐近稳定性大范围渐近稳定性不稳定性平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系难点,要理解喔!平衡态(1/4)5.1.1平衡态设我们所研究的系统的状态方程为x’=f(x,t)其中x为n维状态变量;f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。对该非线性系统,其平衡态的定义如下。平衡态(2/4)—定义1定义5-1动态系统x’=f(x,t)的平衡态是使f(x,t)0的状态,并用xe来表示。从定义5-1可知,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如上图所示。平衡态平衡态平衡态平衡态(3/4)李雅普诺夫稳定性研究的平衡态附近(邻域)的运动变化问题。若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态,则称该平衡态是渐近稳定的;若发散掉则称为不稳定的,若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则称为稳定的,如上图所示。xexexe稳定平衡态不稳定平衡态渐近稳定平衡态x2x1平衡态(4/4)显然,对于线性定常系统x’=Ax的平衡态xe是满足下述方程的解。Axe=0当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个孤立的平衡态xe=0;而当A为奇异时,则存在无限多个平衡态,且这些平衡态不为孤立平衡态,而构成状态空间中的一个子空间。对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡态,它们分别为对应于式f(x,t)0的常值解。平衡态(5/4)例如,对于非线性系统3221211xxxxxx其平衡态为下列代数方程组0032211xxxx的解,即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。1010003,e2,e1,exxx平衡态(6/4)对于孤立平衡态,总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的原点。因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡态取为状态空间的原点。值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻域(区域)。李雅普诺夫意义下的稳定性(1/1)5.1.2李雅普诺夫意义下的稳定性在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前,我们先引入如下几个数学名词和符号：范数球域然后介绍李雅普诺夫意义下的稳定性的定义。李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(1/2)1)范数范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为||x1-x2||。由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种具体范数的定义。在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为2121,2,1()niiixxxx其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量。李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(2/2)常用的n为维空间中的其他范数有:1-范数-范数121,2,11niiixxxx121,2,maxiiixxxx李雅普诺夫意义下的稳定性--球域(1/1)x2x1xe范数下球域x12)球域以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,),即S(xe,)包含满足||x-xe||的n维空间中的各点x。x2x1xe2范数下球域x1x2x1xe1范数下球域x1李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(1/4)3)李雅普诺夫稳定性定义基于上述数学定义和符号,我们有如下李雅普诺夫意义下稳定性的定义。x2x1x(0)x(0)图5-1李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(2/4)定义5-2(李雅普诺夫稳定性)若状态方程x’=f(x,t)所描述的系统,对于任意的0和任意初始时刻t0,都对应存在一个实数(,t0)0,使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,)的初始状态x0,x2x1x(0)x(0)当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,)内,则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的,李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(3/4)即逻辑关系式0t00x0S(xe,)tt0x(t)S(xe,)为真,则xe是李雅普诺夫意义下稳定的。若实数(,t0)与初始时刻t0无关,即逻辑关系式x2x1x(0)x(0)00t0x0S(xe,)tt0x(t)S(xe,)为真,则称稳定的平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致稳定的。对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价。但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(4/4)上述定义说明,对应于平衡态xe的每一个球