风险管理5

第五章风险衡量损失资料的收集与整理损失资料的描述风险衡量指标损失频率与损失幅度的估算本章主要内容2获得损失分布的一般过程年度总损失分布及随机模拟（一）损失资料的收集数据要求：（1）完整性。（2）一致性。（3）相关性。（4）系统性。一、损失资料的收集与整理（二）损失资料的整理1、损失资料的整理首先是对损失数据的排列。2、资料分组资料分组是用来简缩资料的。必须决定组数、组距、组界、组频数。3、形成频数分布组距与相应的组频数一起形成频数分布。某出租汽车公司车队每次事故的损失金额（万元）频数分布表可以着重说明某些损失数据的特征，但有时也存在着缺点。例如表中清楚地表明损失值小于4.75万大于0.25万的占损失次数的34.3%(6/35),而仅有8.6%（3/35）的汽车事故造成18.25万以上的损失。这里得不到每组数据中每次事故导致多少损失的直观信息，因此使用频数分布表时，需要估计每组的代表数值，一般使用每组的组中值，组中值是最有代表性的估计值。组中值3、累积频数分布累积频数分布表是一个用以说明损失值在某特定数值以下的损失数据个数的表，各组对应的累积频数是该组及以前所有各组的组频数之和，即：第n组所对应的累积频数=第n-1组所对应的累积频数+第n组的组频数11二、损失资料的描述（一）损失资料的图形描述通过图形描述可以使通过资料分组获得的数据特征更为鲜明，普遍使用的有直方图、柱状图、圆形图、折线图等，如何选用图形取决于数据特性和风险管理决策的需要。在研究频率分布的情况时,画频率分布的直方图,此时,横轴的坐标首先要按组来划分,组距是每一个小矩形的宽,由于每一个小矩形的面积表示样本数据落在该组内的频率,因此矩形的高不是频率,而是频率与组距的比----即频率/组距“所有小矩形的面积之和为1,我们可以通过面积的测量来求样本的频率,这就是频率分布的直方图的意义.从理论上讲,总体的分布应该是一条光滑的曲线----密度曲线,密度曲线与横轴所围成的曲线形的面积是1。因此,如果样本容量足够大,组距足够小,频率分布直方图应该覆盖密度曲线下方与横轴之间的部分.关于直方图的使用和意义：柱状图财产险保费收入05001000150020002500财产险保费收入财产险保费收入598685778869109012301509199820002001200220032004200520062007柱状图是用高度表示统计量(反映在纵轴上的数量)，因而另一轴上的度量值不必考虑。饼状图、圆形图一可比较各指标完成的情况。雷达图亦称综合财务比率分析图法，又称为戴布拉图、螂蛛网图、蜘蛛图雷达图方法可以将不同指标在同一时点做横向比较，主要包括收益性、成长性、安全性、流动性及生产性五类指标。先画出三个同心圆，并将其等分成五个扇形区，分别表示生产性、安全性、收益性、流动性和成长性。通常，最小圆圈代表同行业平均水平的1/2或最低水平；中间圆圈代表同行业平均水平；又称标准线；最大圆圈代表同行业先进水平或平均水平的1.5倍。25（二）损失资料的数字描述两类指标：一类是描述集中趋势的指标，称作位置量数；另一类是表明离散趋势的指标，称作变异量数1、位置量数（1）全距中值(83页)（2）众数（3）中位数(4）算术平均数分组资料平均数的计算26组别分组组中值mi频数fifimi10.25~4.752.50123024.75~9.257.0096339.25~13.7511.50669413.75~18.2516.00580518.25~22.7520.50361.5∑35303.5＝∑fimi/∑fi=303.5/35=8.67x上述计算与实际平均数8.92极为接近。272、变异量数在风险管理中选用的变异量数（反映离散趋势）有全距、平均绝对差、方差和标准差以及变异系数等。（1）全距（2）平均绝对差M.A.D1..niixxMADn(3)方差和标准差28（4）变异系数（相对风险）一般地，变异系数变异系数消除了现象的基数水平大小和量纲差异，可以在不同基数水平的同类现象，以及不同现象之间进行比较。iiD[X]C=E[X]XXV30损失概率和损失程度：（一）损失概率某一事件的发生与否往往存在着一种统计规律性。三、风险衡量指标1、与损失概率有关的重要定理：贝努力大数定理、普阿松（泊松Poison）大数定理（1）贝努力大数定理设事件A在每次试验中发生的概率都为p,n次重复独立试验中事件A发生的次数为,则对任意正数有⒈当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这个常数就是事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性。⒉频率不等同于概率.由伯努利大数定理，当n趋向于无穷大的时候，频率fn(A)在一定意义下接近于概率P（A）.lim{}1AnnPpnAn3、损失概率在风险衡量中的两种说法（1）时间性说法某栋大楼发生火灾的概率为1/10它可能是10个月发生一次火灾，也可能是10年发生一次火灾。两点注意：其一是时间单位采用的不同，损失频率亦不同；并且，随着观察时间的延长，损失频率会更接近损失概率。其二是在同类风险单位较少的情况下，由于难以短期内预测有多少单位受损，采用时间性说法对风险管理人员是有用的。（2）空间性说法此种说法侧重于特定期内足够的独立的相似风险单位中遭受损失的风险单位数，是众多风险单位在空间上的平均结果。注意：风险管理人员不能仅考虑本组织风险单位过去的损失情况，还要考虑不同经济单位，甚至不同国家的风险单位损失经验。如民航飞机失事率，则不仅要考虑一个国家民航飞机失事经验，更重要的是考虑全球民航飞机失事经验。飞机保险的费率依据之一就是全球民航失事率。（二）损失程度损失的严重程度1、损失幅度2、损失期望值3、损失金额的概率分布39损失幅度是指一旦发生致损事故，造成的最大损失值。估测方法有两种：最大可能损失（MPL：MaximumPossibleLoss）和最大预期损失（可能最大损失PML：PossibleMaximumLoss）最大可能损失是一种客观存在，与人们的主观认识无关。例如一幢建筑物价值1000万，那么最坏的可能是全损，即最大可能损失1000万。而最大预期损失则是一种与概率估算相关，即与人们的主观认识有关的概念，它随着人们选择的概率水平的不同而有所不同。因此最大可能损失大于等于最大预期损失。因此，从概率的角度考虑，或许有人测算此栋建筑约40年有一次损失超过800万，由于这种可能极为微小，因此认定最大预期损失为800万，或许有人测算40年有一次损失超过850万，故最大预期损失为850万。1、损失幅度41（1）随机变量期望值的定义：损失期望值表征某一时期的平均损失，它可以通过损失数据的算术平均数来估计，如果已得到损失的概率分布，则可精确计算出来。2、损失期望值42（2）与数学期望相关的重要定理切比雪夫大数定理注意：3、损失金额的概率分布某损失金额或损失区间的概率情况：如损失在4500-6000元的概率？损失金额（百元）5-1515-2535-3535-4545-5555-6565-75次数2928302151四、损失频率与损失幅度的估测（一）每年损失事故发生的次数损失次数可使用二项分布、泊松分布、负二项分布等来估计。1、用二项分布估测损失次数假设n个风险单位均遭到同一风险的威胁。如果n个风险单位在一年中发生所述的风险事故的次数为X，且满足下列条件：（1）每个风险单位发生同样风险事故的概率相同，设为p；（2）任一风险单位发生风险事故都不会影响其他风险单位发生同样风险事故（独立性）；（3）同一个风险单位在一年中发生二次以上的事故可能性极小，可以认为这一概率为零。则X为一服从二项分布的随机变量，且分布律为其中q=1-p是标的一年中不发生事故的概率。kn,0,1,2knkPXkCpqkn例银行为支付某日即将到期的债券准备一笔现金,已知这批债券共发放了500张,每张需付本息1000元,设持券人(1人1券)到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换？解：设X为该日到银行领取本息的总人数,则),4.0,500(~BX所需支付现金为1000X,依题意有{1000}0.999.PXx由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知{1000}{}1000xPXxPX设银行该日应准备现金x元,泊松分布泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布66趣味思考：某航空公司发生空难后的第二天，乘坐此航空公司的飞机，安全度会提高吗？会提高多少倍呢？这是个典型的服从泊松分布的随机事件假设——平均每十天发生1次难（平均每天发生率为0.1次）。平均每两天空难的发生率即为0.2次空难事件的泊松分布表达式此处，=0.2，i是连续两天发生空难的次数P（X=i）则表示连续两天发生i次空难的概率因此，P(X=0)=81.81873%P(X=1)=16.374%P(X=2)=1.752%·P()!ieXii结论两天内会发生空难的概率为：16.375%+1.752%=18.127%=1-81.81873%亦即第一天不发生空难，第二天发生空难的概率为18.127%两天内发生两次及两次以上空难的概率P(X=2)=1.752%说明，第一天发生空难后，第二天仍会发生空难的概率为1.752%。基于泊松分布，安全性确实提高了18.127%/1.752%=10.3446倍返回703、负二项分布在事件A发生的概率为p的独立重复随机实验中，若以X记A第k次出现时的试验次数，则X为随机变量，它可能取的值为k,k+1,…，其X的概率分布为帕斯卡分布（负二项分布）。11{},,1,kkxkxPXxCpqxkkk1k1xkx1xx11p(k,)kAkCpqANbp事实上，在第次出现A的第次贝努利试验中，最后一次一定是，而前次中出现A的次数为次，由二项分布知其概率为，再乘以最后一次出现的概率，即得1+1y,xy{},0,1,2kkxxkxkPXxCpqx令再用替换，可得：2kq()kq()EXpVarXpP155研究只有两个结果的独立重复随机试验，指定结果发生的概率为p，则指定结果第k次恰好出现在第x+k次试验的概率为：1+1{},0,1,2kkxxkPXxCpqx72教材p156例：观察10万份保单，按其在一年中的索赔次数进行分组，见表。已知平均索赔次数为0.12318，方差为0.125707，分别用泊松分布和负二项分布来拟合索赔频数，看哪一种更适合。实际应用中：常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.27%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有1.96个标准差之内的范围，以及约99%数值分布在距离平均值有2.58个标准差之内的范围。（3）损失分布是N（81.19,32.95），损失值X大于100万的概率，即7157.057.0即P{x＞100}=1－0.7157=0.2843，所以损失值大于100万的概率为0.2843。其中81.1910081.1981.19{X100}={}={0.57}32.9532.9532.95XXPPP某类赔款的平均规模为400元，标准差为1000元，计算85笔相互独立的赔款之和大于49000元的概率。解：根据独立随机变量的均值与方差具有可加性，预期总赔款额均值为85x400=34000，列维—林德伯格中心极限定理的应用490003400010.0159219.54方差为x1000=9219.5485根据列维—林德伯格中心极限定理，总赔款支出超过49000元的概率为：f(t)=∞(标准正态曲线)=5=10.10.2-4-3-2-10123