第四讲 条件概率、乘法公式

第一章概率论的基本知识一、条件概率二、乘法公式第四讲§5条件概率一、条件概率条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。设A、B是某随机试验中的两个事件，且P(A)0，则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率，记为P(B|A)例1盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放回地取两次，观察两次取出球的标号．则该试验的所有可能的结果为(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球设A={第一次取出球的标号为2}B={取出的两球标号之和为4}则事件B所含的样本点为(1,3)(2,2)(3,1)因此事件B的概率为:若我们考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即P(B|A)由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为3()16PB(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)1(|)4PBA(|)()PBAPB一般地1()16PAB还可求得4()16PA显然有()(|)()PABPBAPA这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为,,()0,():(|)()ABPAPABPBAPAAB设是两个事件且称为在事件发定生的条件下事件发义生的条件概率．条件概率的性质：10BPBAｏ非负性：对任意事件，有1PSAｏ２规范性：1211nnnnnBBBPBAPBAｏ３可列可加性：如果随机事件，，，，两两互不相容，则例2已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．则所以解：设A={3个小孩至少有一个女孩}B={3个小孩至少有一个男孩}S={MMM,MMF,MFM,FMM,MFF,FMF,FFM,FFF}M=男F=女68PAB171188PAPA668778PABPBAPA例3一盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品。从中取产品两次，每次取一只，做不放回抽样设A=“第一次取到的是一等品”，B=“第二次取到的是一等品”，求条件概率()PBA解法一：公式法()(|)()PABPBAPA将产品编号：1,2,3号为一等品，4号为二等品，以(i,j)表示第一次取“i”号，第二次取“j”号，则样本空间为S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}9()12PA346()12PAB12()(|)()PABPBAPA123423解法二：样本空间缩减法当事件A已经发生后,该试验的样本空间S缩减为A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}此时，事件B=“第二次取到一等品”包含的基本事件为{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}，含有6个样本点6(|)9PBA23这样，样本空间包含9个样本点。二、乘法定理我们得()(|)()PABPBAPA()(|)()PABPBAPA这就是两个事件乘积概率的乘法公式．由该公式可推广到多个事件乘积的情况．,,()0,()(|)(|)()ABCPABPABCPCABPBAPA如设为事件，且则例4设有一批产品，820件为正品，180件为次品，现从中依次取出两件，2件都是次品的概率是多少？解：{}iA令第i次抽到次品1,2i12()PAA所求概率为　1180()1000PA21179()999PAA12121()()()PAAPAPAA1801790.032251000999例5有一张电影票，5个人依次抓阄，问第i个人得到电影票的概率是多少？(i=1,2,3,4,5)解：{},1,2,3,4,5iAi设第i个人得到票1114(),()55PAPA若第2个人得到电影票的话，必然是第1人没有得到票，因此212()()PAPAA211141()()455PAAPA同理，第3个人得到电影票的话，必然是第1，2人都没有得到票，因此312331212()()()()PAPAAAPAAAPAA312211()()()PAAAPAAPA1341345515继续做下去，会发现每个人得到票的概率都是抓阄是公平的！例6设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”123()()PBPAAA9713(1)(1)(1)10102200312211(|)(|)()PAAAPAAPA123BAAA那么小结:()1(|)()PABPBAAPAB、为在事件发生的条件下事件发生的条件概率2(|)()PBAPB、3()(|)()PABPBAPAAB、是计算乘积事件概率的乘法公式有效方法