第四讲 矢通量分裂格式与人工粘性

第四讲矢通量分裂格式与人工粘性迁移方程0txuau（10-1）若a为大于零的正数，则Euler后差格式110nnnniiiiuuuuatx（10-2）稳定。若a为小于零的负数，则Euler前差格式110nnnniiiiuuuuatx（10-3）稳定。若a是可正可负的变量，则需将a进行分裂，令aaa式中，12aaa，12aaa于是有，0a，0a迁移方程可写为，0txxuauau（10-4）迎风格式，1110nnnnnniiiiiiuuuuuuaatxx（10-5）总是稳定的。当0a时，式（10-5）与（10-2）相当，当0a时，式（10-5）与（10-3）相当。对于一维Euler方程0txUF（10-6）式中，123UUuUeU1223uFFupFepuF补充状态方程，2112peu（10-7）对于方程（10-6），若设FAU则方程（10-6）成为0txUAU（10-8）如何分裂A？两个步骤：1，求出A2，求出A的特征值。可将矢通量F写成矢恒量U的显函数形式，即123UUUU2223122231131212UUFUUUUUUU第1个步骤：111123123222123123333123,,,,FFFUUUFFFFFFFAUUUUUUUFFFUUU（10-9）23201033123112FAuuUeueuuu（10-10）第2个步骤，求出A的特征值。对A作相似变换1APAP（10-11）式中，Auuaua对A可以进行分裂，设AAA（10-12）其中，222Auuuauauaua由式（10-11）可得，1AAPP（10-13）将（10-12）代入（10-13）得111AAAAAPPPPPP（10-14）设1AAPP1AAPP于是式（10-14）成为AAA从而完成了第2个步骤，分裂了A，于是Euler方程（10-8）可写成0txxUAUAU迎风格式可写成1110nnnnnniiiiiiUUUUUUAAtxx（10-16）这是非守恒型的迎风格式，并不常用。222Auuuauauaua（10-15）一．对守恒型Euler方程采用矢通量分裂措施应当直接分裂Euler方程中的F，即对Euler方程（10-6）0txUF实施迎风格式，这就是所谓矢通量分裂格式。定理：若函数FU恒等地满足下列关系kFlUlFU则称FU是一个k次的齐次函数。对于这种函数，只要它可微，就有FkFUU上式称为齐次函数的Euler公式。在Euler方程中，F是关于U的一次齐次函数，即1k。根据微分学中齐次函数的Euler公式，有FAU（10-17）由于对A已进行了分裂（AAA），于是有FAAU令FAUFAU（10-18）于是，完成了对F的分裂FFFEuler方程（10-6）成为0txxUFF矢通量分裂格式可写为：1110nnnnnniiiiiiFFFFUUtxx归纳一下，分裂F的步骤：1．求出A（FAU）2．找到矩阵P，使1APAP3．求出A，A（12AAA，12AAA）4．求出A，A（1AAPP，1AAPP）5．求得F，F（FAU，FAU）对于二维和三维情况，可以依次类推。例如，对于二维Euler方程，0txyUFG同样可进行矢通量分裂，即FFFGGG于是，Euler方程就成为0txxyyUFFGG那么矢通量分裂格式可写成：1,,,1,1,,,,1,1,0nnnnnnijijijijijijnnnnijijijijFFFFUUtxxGGGGyy二．矢通量分裂格式（采用矢通量分裂措施的差分格式）1．一阶精度显式格式1110nnnnnniiiiiiFFFFUUtxx2．空间精度为二阶的格式11221134214302nnnnniiiiinnniiiUUFFFtxFFFx3．MacCormack格式1111111111112nnnnnniiiiiinnnnnnniiiiiiittUUFFFFxxttUUUFFFFxx由于采用了一侧差分，破坏了格式的对称性，只有一阶精度。4．AF格式（C-N格式）22nnnnnbfbftAtAFFIUtxxxx式中，下标b表示后差，f表示前差。对上式作近似分解：22nnnnnbfbftAtAFFIIUtxxxx以上四个格式都是针对一维Euler方程的，可以直接推广到二维和三维。三．人工粘性MC格式和AF格式由于采用中心差分使其等价微分方程中的二阶导数项都消失了，引起非物理的数值振荡，所以必须人为地把这些消失了的二阶项再加到格式中去，这些二阶项称为人工粘性。对于MC格式（以一维Euler方程为例），有11111111112nnnnnniiiixxxxxxnnnnnnniiiiixxxxxxtUUFFtUtUxtUUUFFtUtUx对于AF格式（以二维Euler方程为例）22422nnnxynntAtBIDIDUxyFGtDxy式中，222xxDx，222yyDy，44444nDUxy在以上格式中，、、x、y和均为待定系数。如何确定这些系数？四．人工粘性与矢通量分裂格式的关系对于迁移方程0txuau迎风格式1110nnnnnniiiiiiuuuuuuaatxx（10-5）式中，12aaa，12aaa，代入上式，整理得，111112222nnnnnnniiiiiiiuuuuxuuuaatxx上式表明，迎风格式相当于Euler中心差分格式加上二阶粘性。对于一维Euler方程为例0txxUFF（10-19）简记1iixfffx——后差1iixfffx——前差112iixfffx——中心差则一阶精度矢通量分裂格式可写为：10nniixxUUFFt（10-20）我们已知FFF而FAU，FAU（10-21）而1AAPP，1AAPP（10-22）而12AAA，12AAA（10-23）于是，将式（10-23）代入式（10-22），有1111122AAAAAPPPPPP显然1AAPP，令1AAPP于是12AAA，同理12AAA，代式（10-24）入式（10-21），有12FAAU，12FAAU于是2212xxxxxxxxAAAAFFUUAUAU（10-25）根据定义：2xxxxxxxx代入式（10-25），得2xxxxxxFFFAU（10-26）代入一阶精度矢通量分裂格式（10-20），得（10-24）12nniixxxUUxFAUt（10-27）可见，一阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上二阶粘性。这是一条重要结论。另外，空间精度为二阶的矢通量分裂格式可写成10nnbfiixxUUFFt（10-28）式中，一侧三点后差：12342biiixffffx一侧三点前差：12342fiiixffffx同理可从（10-28）导出下面的式子1324nniixxxUUxFAUt（10-29）式中，2112444iiiixfffffx（四点中心差分）由（10-29）可得到另一条重要结论：空间二阶精度的矢通量分裂格式相当于中心差分格式加上四阶粘性。五．确定人工粘性的系数根据上述两条重要结论，可以确定MC格式和AF格式中的人工粘性系数、、x、y和。由（10-27）可知，应取2xA一般用ua（谱半径）代替A，于是就有2xua同理可得，2xxua而2yyva由（10-29）可知，应取34xua根据AF格式稳定性要求，不能取太大，一般取1min,2xy由于二阶人工粘性会降低格式的精度，因此只在激波区域（物理量变化剧烈的地方）加入；在光滑区，只需加入四阶粘性即可。因此可以引入一个非线性人工粘性：224xxxxTuaUU式中，21121122iiiiiipppKtppp424max0,Kt其中，2~1K，4~0.1K