必修5――1.1.2余弦定理余弦定理(课堂使用)

正弦定理：CcBbAasinsinsinR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。CRcBRbARasin2,sin2,sin2变型：BAbaBACBAcbasinsinsin:sin:sin::复习回顾教学目标1、了解用向量法证明余弦定理的过程2、能够从余弦定理得到它的推论3、掌握用余弦定理及推论解三角形﹚Abccbacos2222﹚探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，a,b,求边c.cABbCAaCB,,设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac﹚Baccabcos2222余弦定理Abccbacos2222babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，a,b,求边c.cABbCAaCB,,设bac向量法)()(babaccc2余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？CBAbac归纳利用余弦定理，可以解决：已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。余弦定理已知三边,怎样求三个角呢？Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：CBAbac思考1：余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？CBAbac归纳利用余弦定理，可以解决：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。例1、在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形(依次求解A、B、C).解：由余弦定理得22222223161222231()()cos()bcaAbc60A45B180180604575CAB631一、已知三角函数的三边解三角形22)13(622)13()6(2cos222222acbcaB__________,2,1,3.1AcbaABC则中，若在三角形30120.13545.60.________,.2222DCBACabbcaABC或的大小为则角中，在三角形60变式：A60212cos2cos222222CababCabbcaabcbaC解析：CBAbac二、已知三角形的两边及夹角求解三角形的值和边、求角中，已知、在例aCBAcb,30,32,3ABC1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb330cos323232322CABabc60,Bcb90180CBA________,60,1,31aAcb则、若_____AC,43cos1BC2ABABC2则，，中，、在C72变式：CBAbac作业：一、交：（一）《优化设计》P4,例1，例2（对于非特殊角，只要求出该角的三角函数值即可）由推论我们能判断三角形的角的情况吗?bcacbA2cos222推论：CBAbac思考2：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形0222acb△ABC是锐角三角形0222acb△ABC是直角三角形0222acb例3-1、在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）222cbaＡ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定那呢?222cba三、判断三角形的形状三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（）Ａ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定解析：解法1：由a·cosA＝b·cosB以及余弦定理得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，得a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a2＝b2或c2＝a2＋b2，∴a＝b或c2＝a2＋b2.[例3-2]在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角形的形状．三、判断三角形的形状当a＝b时，△ABC为等腰三角形；当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．思考：已知两边及一边的对角时，想一想如何来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求边a.小结:222cos2bcaAbc222cos2cabBca222cos2abcCab余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：推论:作业：一、交：(要求：抄题并写出答案和具体解题过程)（一）《优化设计》P4,例3，P5，随堂练习2二、不交：《优化设计》P5（其中选做：5,7,10，其它为必做题）