相交线与平行线知识点与练习

1OEFABDC知识点一：邻补角定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这样的关系的两个角互为邻补角。注意：（1）邻补角形成的前提是两直线相交；（2）互为邻补角要同时满足三个条件：1、有公共顶点；2、其中一边是公共边；3、另一边互为反向延长线；（3）邻补角包含了两个角的位置关系，又包括两个角的数量关系。“邻”指位置相邻的，“补”指两个角的和为180°。例1．若两个角互为邻补角且度数之比为3：2，求这两个角的度数。知识点二：对顶角（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。例1：如图所示：直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是（）A.∠AOF和∠DOEB.∠EOF和∠BOEC.∠BOC和∠AODD.∠COF和∠BOD（2）对顶角的性质：对顶角相等。例2：如图，直线EF交直线AB、CD于G、H两点，∠1=∠2，∠3=120°，求∠4的度数。练：如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=24°，∠BOC=3∠AOC，求∠DOF的度数。知识点三：垂线定义：两条直线相交成90°角，则这两条直线互相垂直。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。如果a是b的垂线，那么b也是a的垂线，写成：a⊥b或b⊥a。例：如图所示，已知直线AB、CD、EF相交于点O，且CD⊥AB。∠AOE:∠AOD=2：5，求∠BOF、∠DOF的度数。HGEFCDABOABCDEFABDCEF2知识点四：垂线的画法1、三角板画法：一落：让直角三角形的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合；二移：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点；三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。2、量角器画法：一落：将量角器的0°刻度线与已知直线重合；二移：沿已知直线移动量角器，使90°刻度线经过已知点，作出90°刻度线上的另一点；“三画”用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线。例：如图所示：直线AB、CD相交于点O，Q是CD上一点。（1）过点Q画AB的垂线，E为垂足；（2）过点O画CD的垂线。知识点5：垂线的性质：性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线于已知直线垂直。“有”表示存在，“只有”表示唯一。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。例：如图，在铁路旁边有一个村庄A，现要建一个火车站，为了使此村庄的人乘火车最方便（即距离最近），应怎样选择火车站的位置呢？请你画图说明，并解释其中所蕴含的数学道理。垂直、垂线、垂线段的概念辨析：垂直：直线AB，CD相交，所交的角是90°，AB与CD互相垂直。垂线：两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，单独一条直线不能叫做垂线。垂线段：连接直线l外一点A与直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段叫做点A到直线l的垂线段。例：下列说法不正确的是（）A.经过一点能画一条直线和已知直线垂直；B.一条直线可以有无数条垂线C.在同一平面内，过射线的端点与该射线垂直的直线只有一条D.过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例：如图所示，找出图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段。知识点6：同位角、内错角、同旁内角直线AB，CD被直线EF所截，形成了8个角。同位角：两个角都在两条被截线同一方，并在截线的同侧，这样一对角叫做同位线。内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两侧，这样一对角叫做内错角。同旁内角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角。OABCDQ村庄火车站铁路ABCDEFBCAED3例：如图，指出图中的同位角、内错角、同旁内角。练1：如图所示，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠B中，同位角是_______________________________，内错角是_______________________________，同旁内角是______________________________________。练2：如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截取而得到的，并说明它们的名称：∠1和∠9；∠1和∠2；∠3和∠5；∠2和∠7；∠5和∠8；∠6和∠7；∠6和∠8；∠8和∠9；∠4和∠7。EABCDFBEDCADCBA4练习：1、如图所示，M，N是直线AB上两点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1与∠2，∠3和∠4是对顶角吗？2、“如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3互补”这种说法正确吗？3、下列判断中错误的是（）A.一条线段有无数条垂线B.若两条直线相交，则它们互相垂直C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直。D.在同一平面内，过线段AB的中点有且只有一条直线与线段AB垂直4、下列选项中，∠1与∠2是同位角的是（）5、如图1，直线a和直线b相交于点O，∠1=50°，则∠2=__________.6、如图2，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE=_______.7、如图3，点A，O，B在同一条直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC=_______。8、如图4，已知∠BOC=30°，OD平分∠BOC，则∠AOD=_______.9、如图5，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为__________.10、如图6，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A.20°B.40°C.50°D.60°11、如图7，与∠1是内错角的是（）A.∠2B.∠3C.∠4D.∠55知识点一：平行线的定义及表示方法定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。如图，直线a与直线b互相平行，记作a//b。注意：两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线互相平行。例：下列说法：①在同一平面内，不相交的两条线段平行；②在同一平面内，射线a与射线b没有交点，则a//b；③若两直线l，l平行，则l上的线段AB与l上的射线OP一定平行；④若直线m与直线n没有交点，则m//n。其中，正确的个数是（）A.4B.3C.2D.1知识点二：平行线的画法利用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线口诀：一落，二靠，三推，四画。一落：将三角尺的一边落在已知直线上二靠：将直尺紧靠三角尺的另两边的任意一边；三推：沿直尺移动三角尺，使三角尺一边正好经过已知点；四画：沿过已知点的三角尺的一边画直线。例：读下面的语句，并作图：（1）如图1，过点A作AF//CE，交BC于点F.（2）如图2，过点C作CE//AD，交BA的延长线于点E。知识点三：平行公理及推论1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。2、平行公理的推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即如果a//b，c//b，那么a//c。例：同一平面内，已知直线AB与EF相交于点M，AB//CD，那么EF与CD具有怎样的位置关系？为什么？例：如图，直线a//b，b//c，c//d，那么a//d吗？为什么？例：下列说法中正确的是（）1.一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a//b，c//d，所以a//d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。A.1个B.2个C.3个D.4个baADCBEBCADabcd6知识点四：平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行。符号语言：∵∠1=∠2，∴l//l。判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行。符号语言：∵∠2=∠3，∴l//l。判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行。符号语言：∵∠2+∠4=180°，∴l//l。例：如图所示：根据下列条件，可推出哪两条直线平行，并说明根据。（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180°；（3）∠ABC=∠DCE知识点五：平行线判定方法的推论推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直与同一条直线，那么这两条直线平行。符号语言：∵a⊥c，b⊥c，∴a//b。知识点六：判断两条直线平行的方法1、定义；2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行；3、同位角相等，两直线平行；4、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；5、内错角相等，两直线平行；6、同旁内角互补，两直线平行。例：如图，∠1=∠A，∠2与∠B互余，DE⊥BC于点F，试确定图中哪些直线平行，并说明理由。OADCBE12FABCDE7练习：1、下列结论正确的个数是（）（1）两条不相交的直线叫做平行线；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）在同一个平面内，不相交的两条射线是平行线；（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。A.1B.2C.3D.42、如图1，由下列条件可判定哪两条直线平行？(1)∠1=∠3；（2）∠2=∠43、对于图2中的标记的各角，下列条件能够推理得到a//b的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠1+∠4=180°4、如图3所示，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是__________.5、如图4所示，能判定EB//AC的条件是()A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠ABE6、如图5所示，下列条件中能判断直线l//l的是（）A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180°D.∠3=∠57、如图6，已知∠ACD=70°，∠ACB=60°，∠ABC=50°，求证：AB//CD8、如图7所示，若∠B=102°，∠1=78°，则AB与CD平行吗？请说明理由。DCBADCBADCAEBABCDABCD8知识点1：平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等。几何语言：∵l//l，∴∠1=∠2。性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等。几何语言：∵l//l，∴∠3=∠2。性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角相等互补。几何语言：∵l//l，∴∠4+∠2=180°。例：如图所示，如果AB//EF，DE//BC，且∠4=115°，那么你能说出∠1、∠2、∠3的度数吗？为什么？两角间的数量关系两直线间的位置关系知识点2：命题1、定义：判断一件事情的语句，叫做命题。2、组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。3、表达形式：通常写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。4、分类：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题，反之，命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。注意：（1）命题必须是一个完整的句子，是对事情作出肯定或否定的判断。（2）命题一般为陈述句，其他如疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题。例：指出下列命题的题设和结论，并将其改写为“如果……那么……”的形式。（1）同位角相等；（2）等角的余角相等；（3）直角相等；（4）两点确定一条直线知识点3：定理与证明定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理。证明：一个命题的正确性，需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明。注意：（1）定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。（2）证明中的每一步都要根据，这些根据可以已ABCFED9知条件，也可以是学过的定义，定理等。例：填写下列证明过程中的推理根据。如图：已知AC、BD相交于点O，DF平分∠CDO与AC相交于点F，BE平分∠ABO与AC相交于点E，∠A=∠C.求证：∠1=∠2。证明：