三角形中线专题

三角形三线之——中线第1页/共6页中线：顶点到对边中点的连线段第一、中线等分面积；1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是()A．中线B．角平分线C．高线D．三角形的角平分线2．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有（）A．4对B．5对C．6对D．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）3．△ABC的周长为16cm，AB＝AC，BC边上的中线AD把△ABC分成周长相等的两个三角形．若BD＝3cm，求AB的长．4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．第二、中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等；实例：△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长延长MD到N，使DN=MD，连接CN方式3：过点C作CF⊥AD于F，过点B作BE⊥AD的延长线于E；【经典例题】DABCNDCBAMFEDCBA三角形三线之——中线第2页/共6页例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC提示：方法1：倍长AE至G，连结DG方法2：倍长FE至H，连结CH例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE至F，连结DF证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）例6：在△ABC中，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC2ADFECABDFEDABC第1题图ABFDECEDABC三角形三线之——中线第3页/共6页【融会贯通】1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G证明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC2、如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F.求证：EFCFBE3、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.提示：过T作TN⊥AB于N证明ΔBTN≌ΔECD4．如图，△ABC中，D是BC的中点，动点E在AB边上，DF⊥DE交AC于F，连接EF，猜想：BE+CF与EF的大小关系为，并请加以证明．5．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．第14题图DFCBEAFEABCDDABCMTE三角形三线之——中线第4页/共6页6．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC、△DCE都为等边三角形，M为BD的中点，N为AE的中点，求证：△CMN为等边三角形．第6题图第7题图7．如图，在△ABC中，经过BC的中点M，有垂直相交于M的两条直线，它们与AB、AC分别交于D、E，求证：BD+CE＞DE．第三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5cm，则EF为（）A．5B．10C．15D．20第1题图第2题图第3题图2．如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE．8．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．第四、两边中点连线，为三角形的中位线——平行于第三边且等于第三边的一般；（一）、已知三角形的三边为6、8、10,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？变形题：已知三角形的三边为a、b、c,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？（二）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形变形题1：已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形三角形三线之——中线第5页/共6页变形题2：已知E为平行四边形ABCD边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE，分别交BC、BD于F、G，连结AC交BD于O点,连AF。求证：AB=2OF（三）如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线相交于M、N。求证：∠BME=∠CNE变形题：在四边形ABCD中，ACBD相交于O点，AC=BD,E、F分别是AB、CD的中点,连接EF分别交AC、BD于M、N，判断三角形MON的形状，并说明理由。第五、三中线交于一点，该点称为“重心”，将中线长度分为2∶1；三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。证法1：取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1）证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。HGFEDBCAOFEDCBAENFABCDMNMFEDCBA三角形三线之——中线第6页/共6页⑴求线段长例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE=cm。⑵求面积例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG=。2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为。