ARDL模型介绍

第六章动态模型本章要点ARDL模型的概念、优点、结构与构造ARIMA类模型的概念AR模型稳定性的条件，AR模型和MA模型的相互转化AR模型、MA模型、ARMA模型自相关函数、偏自相关函数的特点信息准则的基本原理VAR模型的概念、构造及格兰杰因果检验、脉冲响应GARCH类模型的概念ARCH效应的检验第一节ARDL模型的概念和构造ARDL模型的概念ARDL(autoregressivedistributedlag)称为自回归分布滞后模型。计量软件Microfit，可用来对ARDL模型进行方便的估计.ARDL模型的优点相比于标准的协整检验，不论变量是否同为过程，或同为过程，既不需要变量同阶单整，都可以用ARDL模型来检验变量之间的长期关系。ARDL模型的的结构一个典型的模型的结构如下：其中表示滞后的阶数，表示第i个自变量滞后的阶数，。L是滞后算子(lagoperator),它可用下式定义：，是s行、1列的确定向量1(,)(,)ktiiitttiLPyLqxwu12(,,,.....)kARDLpqqq212(,)1....ppLPLLL212(,)1...iiqiiiiiqLqLLLptyiq1,2,......ikitx1ttLyytwARDL建模的基本方法ARDL建模的方法包括两个阶段：第一阶段，建立与该ARDL模型相对应的误差修正模型（ECM），并计算出ECM模型中的F统计量。以此判断变量间是否存在长期稳定的关系。第二阶段，运用ARDL模型，估计变量之间长期关系的系数。实例－ARDL模型在金融数据中的应用研究对象美国非耐用消费品支出LC与真实可支配收入LY,通胀率DP之间的关系数据1960年1季度到1994年1季度的季度数据首先，我们调用Microfit软件读入该数据文件。对原始数据进行取对数作差分的处理。对应于ARDL(4,4,4)中变量LC，LY和DP的误差修正模型（ECM）如下：原假设：变量间不存在稳定的长期关系，即：择备假设：或或4440111112131titiitiitiiiittttDLCabDLCdDLYeDPILCLYPIu0123:0H11:0H2030图6-3假设检验的结果计算F统计量，检验三者之间是否具有长期关系图6-5ARDL(1,2,0)估计结果用Microfit软件中的ARDL选项来估计变量间的长期系数以及相应的误差修正模型ECM图6-6ARDL(2,2,3)估计结果图6-8AIC准则选定的误差修正模型结果图6-10预测结果第二节ARIMA模型的概念和构造ARIMA模型的概念所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。移动平均过程一个q阶的移动平均（MA）过程可用下式表示：其中u为常数项，为白噪音过程引入滞后算子L，原式可以写成:或者其中tt1t-12t-2qt-qY=u++++...+qititti=1Y=u+L+ttY=u+(L)2q12q(L)=1+L+L...LtMA（q）过程的特征1、2、3、自协方差①当kq时＝0②当kq时对于任意的，MA(q)是平稳的。tE(Y)=utvar(Y)222212q(1...)k2k1k+12k+2qq-kk=(...)自回归过程一个p阶自回归（AR）过程可以用下式表示：其中，为白噪音过程引入滞后算子，则原式可写成或者其中t1t-12t-2pt-ptY=c+Y+Y+...+Y+vtvtt(L)Y=c+v2p12p(L)=1-L-L-...-Lpititti=1Y=c+LY+vAR(p)过程平稳的条件如果特征方程：的根全部落在单位圆之外，则该AR(p)过程是平稳的。2p12p1-Z-Z-...-Z0AR(p)过程的特征=0，的无条件期望是相等的，若设为u，则得到:t1t-12t-2E(Y)=c+E(Y)+E(Y)+...+pt-ptE(Y)+E(v)tE(v)tt-1t-2t-pYYYY、、、...12pcu=1(...)再看方差和协方差……将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程的方差及各级协方差。t1t-12t-2pt-ptY-u=(Y-u)+(Y-u)+...+(Y-u)+v201122pp=++...++11021pp-1=++...+p1p-12p-2p0=++...+自回归移动平均（ARMA）过程将MA(q)过程与AR(p)过程合并，我们就可以得到一个ARMA(p,q)过程，其形式如下：其中为白噪音过程。若引入滞后算子，可以写成其中t1t-12t-2pt-p1t-12t-2qt-qtY=c+Y+Y+...+Y+++...++ttt(L)Y=c+(L)2p12p(L)=1-L-L-...-L2q12q(L)=1+L+L...LARMA过程平稳性的条件ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。当满足条件：特征方程的根全部落在单位圆以外时，ARMA(p,q)是一个平稳过程。2p12p1-Z-Z-...-Z0ARMA(p,q)过程的特征1、2、对于ARMA(p,q)过程的方差和协方差，由于其较复杂，我们不再涉及。t12pcE(Y)=1(...)自回归单整移动平均过程如果序列经过d次差分得到平稳序列，并且用ARMA(p,q)过程对Wt建立模型，即Wt为一个ARMA(p,q)过程，则我们称Yt为(p,d,q)阶自回归单整移动平均过程，简称ARIMA(p,d,q)。引入滞后算子L，ARIMA(p,d,q)过程可表示为：其中，为白噪音过程，tYtWdtt(L)Y=c+(L)t2p12p(L)=1-L-L-...-L2q12q(L)=1+L+L...LAR、MA过程的相互转化结论一：对于一个平稳的AR(p)过程，它可以转化为一个MA(∞)过程，可采用递归迭代法完成转化。结论二：对于一个MA(q)过程，其中若其特征方程的根都落在单位圆外，则称该MA(q)过程具有可逆性，此时MA(q)过程可转化为AR(∞)。注意：平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的，所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对MA过程而言的。ttY=u+(L)2q12q(L)=1+L+L...L2q12q1+Z+Z...Z0Box-Jenkins方法论建立回归模型时，应遵循节俭性(parsimony)的原则。博克斯和詹金斯(BoxandJenkins)提出了在节俭性原则下建立ARIMA模型的系统方法论,即Box-Jenkins方法论。Box-Jenkins方法论的步骤：步骤1：模型识别步骤2：模型估计，步骤3：模型的诊断检验步骤4：模型预测。ARIMA模型的识别在ARIMA模型的识别过程中，我们主要用到两个工具：自相关函数(autocorrelationfunction,简称ACF），偏自相关函数(partialautocorrelationfunction,简称PACF)以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对于滞后长度描图）。我们首先介绍自相关函数和偏自相关函数的定义。自相关函数和偏自相关函数（1）自相关函数对于一个序列来说，它的第j阶自相关系数(记作)定义为它的j阶自协方差除以它的方差，即，的取值范围是。可以看到，(j=0,1,2...)可看作是关于j的函数，因此我们也称之为自相关函数，通常记ACF(j)（2）偏自相关函数偏自相关系数度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数记为PACF(j)。j0jtYjj[-1,1]j（3）自相关函数和偏自相关函数的联系2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复杂，这里不再给出。*11=*222211=(-)(1)MA、AR、ARMA过程自相关函数及偏自相关函数的特点⑴MA(q)过程的自相关函数1≤j≤qjq时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程的一个特征如下图：222j1j+12j+2qq-j12q1j=0ACF(j)(...)(1...)0jq图6-11MA(2)过程tt-1t2ty=0.5u0.3uu⑵AR(p)过程的偏自相关函数时，偏自相关函数的取值不为0时，偏自相关函数的取值为0AR(p)过程的偏自相关函数p阶截尾如下图：jpjq图6-12AR(1)过程tt-1ty=0.5yu图6-13AR(1)过程tt-1ty=yu⑶AR(p)过程的自相关函数以及MA(q)过程的偏自相关函数平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞）过程，则AR(p)过程的自相关函数是拖尾的一个可逆的MA(q)过程可转化为一个AR(∞）过程，因此其偏自相关函数是拖尾的。图6-14ARMA(1,1)过程⑷ARMA(p,q)过程的自相关函数和偏自相关函数ARMA过程的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的tt-1t-1ty=0.5y0.5uu利用自相关函数、偏自相关函数对ARIMA模型进行识别对ARIMA(p,d,q)过程进行识别，我们首先要确定的是该过程是否是平稳的，如果不是，通过几次差分可以得到平稳序列，即首先我们需要确定d的值。对此，我们可以用前面一章提到的ADF检验，也可以通过自相关函数来判断。如果d次差分后的序列其自相关函数很快下降为0，则说明差分后的序列是平稳的，反之则不平稳。在确定d的值后，接下来我们利用自相关函数、偏自相关函数以及它们的图形来确定p,q的值。一般而言，可遵循如下的经验准则：(1)如果某序列的自相关函数是截尾的，即过了某一滞后项数（设为q）后,自相关函数值变得不显著，接近于0，并且偏自相关函数是拖尾的，则我们可以把该序列设为MA(q)过程。(2)如果某序列的偏自相关函数是截尾的，即过了某一滞后项数（设为p）后,偏自相关函数值变得不显著，接近于0，并且自相关函数是拖尾的，则我们可以把该序列设为AR(P)过程。(3)如果某序列的自相关函数、偏自相关函数都是拖尾的，则可以把该序列设为ARMA(p,q)过程。而关于p,q的值需要不断地从低阶试探，但一般而言，ARMA(1,1)过程在文献中是最常见的。ARIMA模型的估计矩估计这种方法就是利用样本自协方差函数和样本自相关函数，对模型的参数作估计。极大似然估计它又包括无条件极大似然估计、条件极大似然估计、精确似然估计等方法。非线性估计它主要是利用了迭代搜索的思想。最小二乘估计对于不包含MA部分的ARIMA模型（即AR模型），我们可以利用普通最小二乘法对参数进行估计。ARIMA模型的诊断在对模型参数进行估计后，下一步我们要对所估计的模型是否很好的拟合了数据进行诊断。如果模型很好的拟合了数据，那么残差应该是一个白噪音过程，即不同时期的残差是不相关的。为检验残差是否各期不相关，我们可以求得残差各阶的自相关系数、…,然后对联合假设：进行检验。如果不能拒绝原假设，说明残差是各期不相关的；如果拒绝原假设，则说明残差存在自相关，原模型没有很好的拟合数据。1ˆ2ˆ、mˆ0H:1ˆ=2ˆ=mˆ...==0在上述检验中，经常用到的一个检验