《线段垂直平分线》导学案

2015-2016学年八年级(上)新人教版数学导学案§13.1.2线段的垂直平分线的性质班级：_________姓名：_________一、学习内容：教材P61二、学习目标①探索并掌握线段的垂直平分线的性质及判定，体验获取数学知识的感受。②初步应用线段的垂直平分线的性质和判定解决有关问题。三、学前准备1、如图1，连接AB，线段AB的长度称为A、B两点之间的____________2、如图2，画出点P到线段AB的两个端点的距离，即______________3、如图3，画出点p到线段AB的距离，记为PO4、线段AB的垂直平分线的定义：__________并且_______这条线段的直线符号语言：5、完成下表名称图像性质判定角平分线定理：符号语言：定理：符号语言：2015-2016学年八年级(上)新人教版数学导学案四、探究活动（提示：类比“角平分线的性质和判定”的探究方法和过程）活动一：探究“垂直平分线的性质”已知：求证：试一试：1、如图1，直线CD是线段AB的垂直平分线，已知线段CA=5，则线段PB=_________2、如图2，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，已知BC=4，AC=10，则△BEC的周长=_________图1图2活动二：探究“垂直平分线的判定”已知：求证：试一试：3、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？五、交流收获ABCDM2015-2016学年八年级(上)新人教版数学导学案1、知识与技能:探索并掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理。2、过程与方法:经历探索、猜测、证明性质的过程,发展空间观察能力。3、情感、态度与价值观:通过自主学习、分组合作,培养学生的团结协作意识,体验获取数学知识的感受。2学情分析线段的垂直平分线的概念前面已学过,本课是进一步理解线段垂直平分线的性质,由学前准备,理解点到点间的距离概念入手,通过类比角平分线的性质作为整体设计思路,顺其自然提出问题。由于近两周学习全等三角形的证明,因此线段垂直平分线的定理及逆定理学生容易证明。由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系,因此,需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析,使同学们能正确理解这两个定理的关系,能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法,从而提高解决问题的能力。3重点难点重点:探索线段的垂直平分线的性质和判定定理难点:线段的垂直平分线定理和逆定理的联系4教学过程4.1第一学时4.1.1教学活动活动1【导入】一、学前准备【教师活动】展示学生学前准备的完成情况,强调中垂线定义中两个关键的要素,即垂直和平分。引导学生感悟距离的概念,加深点与点距离的概念,线段AB的垂直平分线的概念,回忆探索角平分线性质的过程。角有角平分线的性质,那么线段除了定义所包含的性质外,是否也有其他的性质呢?【学生活动】学生自行完成学前准备:(附导学案于后面)1、如图1,连接AB,线段AB的长度称为A、B两点之间的____________2、如图2,画出点P到线段AB的两个端点的距离,即______________2015-2016学年八年级(上)新人教版数学导学案3、如图3,画出点p到线段AB的距离,记为PO4、线段AB的垂直平分线的定义:__________并且_______这条线段的直线符号语言:【设计意图】放手让孩子独立思考,回收学习单检查学前准备情况(一放一收)为后面学习做铺垫活动2【活动】二、探究活动【主要活动】活动一:探究“垂直平分线的性质”师:思考如何解决问题?引导学生将实际问题转化成数学问题。再进行观察、猜想、实验、证明。法1:用直尺量出PA、PB长度比较。法2:圆规测量A、PB长度比较。法3:在沿l对折验证PA与PB生:PA=PB师:与P点位置有关?而P的身份?垂直平分线上的任意一点与线段AB端点的距离也会相等吗?师:哪个关键字眼需要注意?如何研究任取一点的情况?是否能够取遍直线l上的所有点进行研究?师:点P到线段AB的两个端点的距离之间的数量关系?指哪两段长度的比较?引导学生:将点p的位置先进行分类,p点在C点上方,在C点(培养学生证明的严谨性),在C点下方。猜想:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。利用科技技术,展示多媒体资源,直观感受垂直平分线上的点到线段两端距离相等。师:思考如何把猜想变成事实?引导学生:写出把文字语言变成数学语言,根据图形写出已知和求证,即命题的题设和结论,加以证明。选取同学到黑板上板演自己的证明,其他同学在练习本上完成。引导学生:总结出线段垂直平分线的性质定理。在证明过程中,我们随机地选了几种情况来证明,这并不影响命题的正确性,因为我们所选的点是任意的。借此向学生渗透等价类的性质与选取的代表无关的思想证明性质:已知:l⊥AB,垂足为C,且AC=CB,求证:PA=PB证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB在△PAO与△PBO中,AC=CB,∠PCA=∠PCB2015-2016学年八年级(上)新人教版数学导学案PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)∴PA=PB结论:文字语言:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。符号语言:∵CA=CB,l⊥AB,∴PA=PB【学生活动】学生独立思考,理解题目意思,举手发言。学生小组合作解决问题,由观察容易得出PA=PB。通过测量、对比、折纸等方式得出猜想。【设计意图】1、对比角平分线的性质,引出探究垂直平分线的性质,激发孩子们的学习好奇心。2、在学习了垂直平分线的性质的过程中经历了“观察、实验、猜想、验证”的结构学习。学生用结构自行学习得出垂直平分线的性质定理。【主要活动】活动二:探究“垂直平分线的判定”师:反之,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?如图,已知:点P为线段AB外任意一点,PA=PB求证:点P在线段AB的中垂线上师:要满足中垂线,即要满足几个条件?师:可先满足一个条件(即做垂线,证中线或做中线,证垂线)证明判定:已知:PA=PB求证:点P在线段AB的中垂线上(法1)证明:作线段AB的垂线PO∵PO⊥AB,∴∠POA=∠POB=90°在Rt△PAO,Rt△PBO中,PA=PB,PO=PO,∴Rt△POA≌Rt△POB(HL)∴AO=BO∴PC⊥AB,2015-2016学年八年级(上)新人教版数学导学案∴点P在线段AB的垂直平分线上(法2)证明:取线段AB的中点O,连接PO∵O为线段AB的中点,∴AO=OB在△PAO,△PBO中PA=PB,PO=PO,AO=OB∴△POA≌△POB(SSS)∴AO=BO∴PC⊥AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上结论:文字语言:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上符号语言:∵PA=PB,∴点P在AB的垂直平分线上【学生活动】一位同学道黑板上板演。按照要求写出已知求证,明确题意,积极思考命题的证法,与同学讨论交流思路,在交流中既学到别的同学的证法,又对自己的证法进一步完善和改进。因为有学习全等三角形的铺垫,比较顺利地完成老师的要求。【设计意图】1、对于层次较低的孩子通过简单的测量线段长度也能够参与数学小组学习中来。通过理性的证明,加强了学生理性思考问题的意识。收回学生的学习单,查看完成情况及所出现的问题(二收)。2、学生亲自动手实践,积极参与发现,激发了学生的认识冲突,获得锻炼机会,对定理的产生过程,真正做到心领神会。回收孩子们的学习情况,总结可能存在的问题(三收),引导孩子添加辅助线后,动手操作证明(三放)。活动3【练习】三、反馈练习试一试:如图1,直线CD是线段AB的垂直平分线,已知线段CA=5,则线段PB=_________2、如图2,在△ABC中,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,已知BC=4,AC=10,则△BEC的周长=_________3、如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?活动4【活动】四、交流收获【主要活动】2015-2016学年八年级(上)新人教版数学导学案小结:本节课学习了线段垂直平分线的性质和判定。这两种图形的性质与判定都使我们从用三角形全等来证明线段相等和角相等的繁琐中解脱出来,今后我们的证明和计算都会得到简化和快捷。【学生活动】学生思考,举手发言【设计意图】巩固今天所学知识。让孩子参与其中,获得成就感。活动5【活动】附录：学习单