20194.6-指数方程与对数方程教育精品.ppt

4.6指数方程与对数方程【复习目标】掌握基本类型的指数方程与对数方程的解法.【知识回顾】1.指数方程及解法(1)定义法:af(x)=b⇔f(x)=logab;(2)同底比较法:af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x);(3)换元法:[af(x)]2+b·af(x)+c=0⇔可设af(x)=t得t2+bt+c=0,求得t后再求x.2.对数方程及解法(1)定义法:logaf(x)=b⇔𝒇(𝒙)𝟎𝒇(𝒙)=𝒂𝒃;(2)同底比较法:logaf(x)=logag(x)⇔𝒇(𝒙)𝟎𝒈(𝒙)𝟎𝒇(𝒙)=𝒈(𝒙);(3)换元法形如:[logaf(x)]2+blogag(x)+c=0⇔可设logaf(x)=t得t2+bt+c=0,求得t后再求x.(注:解对数方程要验根)【例题精解】【例1】解方程22x+1=3.【分析】此题适宜用定义法解,即y=af(x)⇔f(x)=logay(x∈R,y0,a0且a≠1).【解】由22x+1=3得2x+1=log23得x=𝟏𝟐log23-𝟏𝟐所以原方程的解为:x=𝟏𝟐log23-𝟏𝟐【分析】因为𝟑𝒙𝟐+𝟐=27=33,从而得x2+2=3,解之得x.【解】原方程可化为:𝟑𝒙𝟐+𝟐=33得:x2+2=3解得:x=1或x=-1【例2】解方程𝟑𝒙𝟐+𝟐=27【例3】解方程(𝟐𝟑)x(𝟗𝟖)x=𝟐𝟕𝟔𝟒【分析】此题的解法与上例相同,即同底比较法:af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x),(1)利用指数运算法则将方程两边化成同底指数幂af(x)=ag(x),(2)根据指数性质得f(x)=g(x)解之得x,请同学们根据分析自己解答此题.【分析】此题为[af(x)]2+b·af(x)+c=0类型,宜用换底法:[af(x)]2+b·af(x)+c=0⇔可设af(x)=t得t2+bt+c=0,求得t后再用定义法或同底比较法求x.【解】设2x=t,将方程化为t2-8t-𝟏𝟖t+1=0即(t-8)(t-𝟏𝟖)=0解得:t1=8,t2=𝟏𝟖由2x=t1=8得x1=3由2x=t2=𝟏𝟖得x2=-3【例4】解方程4x-2x+3=2x-3-1【分析】此题宜用定义法(即logaf(x)=b⇔𝒇(𝒙)𝟎𝒇(𝒙)=𝒂𝒃)解,由log2(log2x)=1得log2x=21=2,再得x=22=4,最后验根,请同学们自己解答此题.【例5】解方程log2(log2x)=1【分析】此题宜用同底比较法:logaf(x)=logag(x)⇔𝒇(𝒙)𝟎𝒈(𝒙)𝟎𝒇(𝒙)=𝒈(𝒙)解,由原方程可得lg(x2+11x+8)=lg[10(x+1)],得𝒙𝟐+𝟏𝟏𝒙+𝟖𝟎𝒙+𝟏𝟎𝒙𝟐+𝟏𝟏𝒙+𝟖=𝟏𝟎(𝒙+𝟏)①,由③得x1=-2,x2=1将它们代入①②式检验得只有x2=1为原方程的解.请同学们自己解答此题.【例6】解方程:lg(x2+11x+8)-lg(x+1)=1【分析】此题宜用换元法形如:[logaf(x)]2+blogag(x)+c=0⇔可设logaf(x)=t得t2+bt+c=0,求得t后再用定义法或同底比较法求x.【解】设lgx=t则原方程可化为𝟏𝟏𝟐t2+𝟏𝟒t-𝟏𝟑=0即t2+3t-4=0得:t1=-4,t2=1由lgx=t1=-4得x1=10-4=0.0001由lgx=t2=1得x2=101=10经检验:x1=0.0001,x2=10都是原方程的解.特别注意:解对数方程一定要验根.【例7】解方程𝟏𝟏𝟐(lgx)2=𝟏𝟑-𝟏𝟒lgx【同步训练】【答案】C一、选择题1.设𝟐𝒙𝟐−𝟏=8,则x=()A.2B.-2C.-2或2D.-3或3【答案】A2.方程2lgx+lg2=1的解集是()A.{𝟓}B.{𝟓,-𝟓}C.{𝟐,-𝟐}D.{𝟐}【答案】B3.指数方程4x-10×2x+16=0的解集是()A.{1,4}B.{1,3}C.{3}D.{2,3}【答案】B4.设log711=a,则log117=()A.aB.𝟏𝒂C.𝒂D.a2【答案】B5.如果loga𝟐𝟑=-1,那么a的值是()A.-𝟐𝟑B.𝟑𝟐C.𝟐𝟑D.-𝟑𝟐【答案】A6.“等式log3x=1成立”是“等式log3x2=2成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D7.如果log5[log3(log2x)]=0,那么𝒙𝟏𝟑等于()A.𝟏𝟑B.3C.2𝟐D.2【答案】D8.函数f(lgx)=x,那么f(3)等于()A.lg3B.3C.30D.1000【答案】B9.若lg5=m,则lg50=()A.𝒎𝟑B.1+mC.1-mD.m-1【答案】B10.log34·log48·log87·log7m=log318,那么m=()A.27B.18C.9D.𝟗𝟐二、填空题11.方程lgx+lg5=2,则x=.12.设2x=3,2y=5,则23x-y=.13.方程5x-5-x+1+4=0的解集为.14.方程9(1-2x)-𝟏𝟑=0的解集为.15.log2[log2(log2x)]=1,则x=.20{0}165𝟐𝟓{𝟑𝟒}三、解答题【解】(1)5x-2=𝟏𝟐𝟓⇒5x-2=5-2⇒x-2=-2⇒x=016.解指数方程(1)5x-2=𝟏𝟐𝟓(2)4x-2x+3=2x-3-1(3)32+x-32-x=80(2)4x-2x+3=2x-3-1整理得8×(2x)2-65·2x+8=0得8×2x-1=0或2x-8=0得x=-3或x=3(3)32+x-32-x=80.整理得9·(3x)2-80·3x-9=0得9·3x+1=0①或3x-9=0②①无解,由②得x=217.解对数方程(1)log2(x+1)+log2x=log26(2)log2(x-1)=log4x(3)log4x+log4(64x2)-6=0【解】(1)log2(x+1)+log2x=log26整理得log2[x(x+1)]=log26得x2+x=6解得x=-3或x=2经检验:x=2为方程的根.(2)log2(x-1)=log4x整理得(x-1)2=x解得x=𝟑±𝟓𝟐经检验:只有x=𝟑+𝟓𝟐为方程的根.(3)log4x+log4(64x2)-6=0整理得log4x-1=0得x=4经检验:x=4是方程的根.