数学物理方程第四章-留数定理

2020/2/11阜师院数科院第四章留数定理4.1留数定理0z回忆柯西定理：如果f(z)是复闭通区域上的解析函数，则.0)()(1lnilidzzfdzzf这样的积分不为零，必定包含奇点。因此，研究奇点是求积分的第一要务。2020/2/11阜师院数科院1.定理设函数f(z)在回路l所围区域B是除有限个孤立奇点，外解析，在闭区域上除点外连续，则.)(Re2)(1lnjjbsfidzzfnbbb,,,21nbbb,,,21Blnlndzzillzdzi1.0)(21.1,021包围不包围又：2020/2/11阜师院数科院证明如图，当区域中含有一个孤立奇点时在其收敛环可写kkkzzazf)()(0102)()(1iadzzzadzzfllkkkl1l2l3l1b2b3b当区域中有n个孤立奇点时#柯西定理闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。一个孤立奇点2020/2/11阜师院数科院l1l2l3l1b2b3b当区域中有n个孤立奇点时.))((Re2)()(11niilnilbfsidzzfdzzfi#2020/2/11阜师院数科院2.留数的计算A.单极点的情况：20201001)()()(zzazzaazzazf3022010010)()()()()(zzazzazzaazfzz.)()(lim100azfzzzz作为幂零项1aB.m阶极点的情况202010011010)()()()()(zzazzaazzazzazzazfmmmm2020/2/11阜师院数科院10100110100)()()()()()(mmmmmmzzazzaazzazzazfzzm-1次求导后项为幂零项1a30212201110011011)()()()!1()()(zzaCzzaCzzaCamzfzzdzdmmmmmmmmm1011)()(lim)!1(10azfzzdzdmmmmzz2020/2/11阜师院数科院1011)()(lim)!1(10azfzzdzdmmmmzz.)()(lim100azfzzzz首先－必须确定极点的阶！分析＋经验2020/2/11阜师院数科院3.例(1)1,11)(0zzzfn处的留数。)1)(1(111)(21nnnzzzzzf解分母的因式分解一个单极点(2)求的极点，以及在极点上的留数。zzfsin1)(解.)(,0sin,zfznz极点为无穷多个单极点nzzzfznnzz111lim)()1(lim2111n2020/2/11阜师院数科院nnznznznzzznzznzzfnz)1(cos1lim)'(sin)'(limsinlim)()(lim(3)求的极点，以及在极点上的留数。3542)(zzizzf解)2(1)2)(2(2)4(2)(3323izzizizzizzzizzfA.单极点iz2881)2(11lim)()2(lim33221iiizzfizaiziz2020/2/11阜师院数科院(4)计算沿单位圆的如下回路积分。1z10212zzzdz解寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母在单位圆内的零点。8)2(1)2(2lim!2121lim!21)]([lim!2133022032201iiizizdzdzfzdzdazzzB.3阶极点0z2020/2/11阜师院数科院2211,02zzz11111122其中211z在单位圆外。1)1(1)1)(1(1111122又211z在单位圆内2020/2/11阜师院数科院)11)(11(121)(222zzzzzf22112111121)11(1lim)()11(lim22zzfzazz.11212122212iizzdzz2020/2/11阜师院数科院4.2应用留数定理计算实变函数定积分留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。badxxf)(1l0ab1l2l如图，对于实积分，变量x定义在闭区间[a,b](线段)，此区间应是回路的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中，而实积分成为回路积分的一部分：21lll2020/2/11阜师院数科院2)()()(lbaldzzfdxxfdzzf左边可以利用留数定理，右边对的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常选择使积分最易完成。这样可以完成实变函数定积分。2l2l现在，大部分这样的积分可以应用计算软件完成，我们在这儿只给出最基础的类型。类型一：三角函数的有理式的积分20)sin,s(dxxxcoR2020/2/11阜师院数科院变量变换ixezdzizdxzzixzzx1),(21sin),(21cos1102011ii积分区域变换：线段到单位圆。20)sin,(dxxconxR111)2,2(zizdzizzzzR2020/2/11阜师院数科院例10,cos120xdxI解12112221/zzzzdzizzizdzI221212iiI类型二：dxxfI)(其中，复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在实轴和上半平面趋于无穷大时，zf(z)一致地趋于零。2020/2/11阜师院数科院这个积分通常看作为极限2121)(limRRRRdxxfI而当时，此极限称为I的主值21RRRRRdxxfPI)(lim0zxyRRRCRRCRRldzzfdxxfdzzf)()()(RCRRRjjjdzzfdxxfCzzsfi)()(},)(Re{2RCRRjjjdzzfdxxfzzsfi)()(},)(Re{2上半平面R2020/2/11阜师院数科院0)(max)(max)(max)()()(RCCCCzzfRRzzfzdzzzfzdzzzfzdzzzfdzzfRRRRRRjjjdxxfzzsfi)(},)(Re{2上半平面例,)1(2nxdxIn为正整数.nnnizizzzf)()(1)1(1)(2解：上半平面上有n阶极点i。2020/2/11阜师院数科院innnninnnnizdzdnzfizdzdnannnnniznnniz1212111112)!1()22()1()2(1)!1()22()1)(()(1lim)!1(1)()(lim)!1(12222212])!1[()!22(22)!1()22()1(]2)!1()22()1([2nnnnnninnnniInnn2020/2/11阜师院数科院类型一：三角函数的有理式的积分20)sin,s(dxxxcoR变量变换ixez111)2,2(zizdzizzzzR类型二：dxxfI)(f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外解析；当z在实轴和上半平面趋于无穷大时，zf(z)一致地趋于零。RRjjjdxxfzzsfi)(},)(Re{2上半平面2020/2/11阜师院数科院类型三：偶函数F(z)和奇函数G(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在实轴和上半平面趋于无穷大，F(z)和G(z)一致地趋于零。作变换.sin)(,cos)(00mxdxxGmxdxxFdxexFdxexFdxexFdyexFdxexFdxexFdxexFdxeexFmxdxxFimximximximyimximximximximx)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21])[(21cos)(000000002020/2/11阜师院数科院约当引理对于正整数m,上述极点沿的积分为RCimzRdzezF0)(lim证0sin)(maxRe)(Re)()(RdezFdzeFdzezFdzezFmRCimyimxiCmyimxCimzRRR0zxyRRRCRRC'同理dxexGimxdxxGimx)(21sin)(0RC2020/2/11阜师院数科院2/0sin0sinlim2limRdeRdemRRmRR只需证明有界。是一条对角线，在范围内，2y2/0sin/202/0/22/0sinRdeRdemRmRy211sin2ymemRmR2)1(202//22mRem2020/2/11阜师院数科院m负，则RCimzRdzezF'0)(lim#上半平面。jimzljjimzzezsFidzezFmxdxxFj,)(Re)(21cos)(0上半平面。jimzljjimzzezsGdzezGimxdxxGj,)(Re)(21sin)(02020/2/11阜师院数科院例dxaxxxI0222)(sin解：0,0am222)()(axxxGimzezG)(在上半平面有二阶极点aiz])([lim])()[(lim])([Re22imzaizimzaizimaieaizzdzdezGaizdzdeaiGs])(2)()(1[lim322imzimzimzaizeaizzeaizimzeaiz222)(sinaxxx偶函数解析延拓2020/2/11阜师院数科院mamamamaimzimzimzaizimzaizimzaizimaieameaeamaeaeaizzeaizimzeaizeaizzdzdezGaizdzdeaiGs441441])(2)()(1[lim])([lim])()[(lim])([Re22232222mamaeameamdxaxxxI4)4()(sin0222