新第四章 线性方程组

第四章　　线性方程组知识结构网络方程组矩阵形式Axb－初等行变换0Ax－阶梯形rArA＝解的结构rAn＜基础解系导出组通解向量形式11nnxx110nnxx方程组有解12n可由，，，表示有非零解12n，，，线性相关解的性质12121211220000AxbAxAxkkAxAxbAxAxb－若，是的解，则－是的解－若，是的解，则＋也是的解－若是的解，是的解，则＋是的解解的结构－特解、通解－自由变量121212120102304ttttAxAxAxnrAt如果，，，是的基础解系，则，，，是的解；，，，线性无关；的任一个解可由，，，线性表示；－＝...注意：线性方程组在代数中地位重要，是考研的热点之一　这一部分解题的思路也比较清晰。但往往由于忽视基本运算，　对概念的理解上亦有偏差，因此出错率较高常犯低级错误1.2.AxbrArA　要理解线性方程组解的概念及表达方式　非齐次方程组可能有解惟一解或无穷多解亦可能无解　　要理解方程组有解的充要条件是秩＝30?045.nAxrAnA　元齐次方程组必有零解，问题是除去零解之外是否还有　　其他的解即非零解？判断方法是检查　　特殊情况可检查行列式＝？　要理解基础解系这一概念，其实它就是解向量的极大无关组，要　　掌握基础解系的求法与证明　　要熟悉线性方程组解的性质，掌握解的结构，熟练运用初等行变换　　求通解特解、导出组基础解系二、基本内容与重要结论基本概念11112211211222221122124.1,,,1,2,,1,2,,1,nnnnmmmnnmnijjiaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbnmxxxnmmnnnaiimxjnbi方程组　　称为个未知数个方程的非齐次线性方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，可以等于，也可以大于或者小于，是第个方程中的系数，2,,.mi是第个方程的常数项1111221121122222112201,2,,4.2.4.1.4.24.1.innnnmmmnnmbimaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb如果＝，则称方程组　　为齐次线性方程组它是方程组的导出组也称为对应的齐次线性方程组121212,,,4.1,,,4.1,,,4.1.nnncccxxxmccc若将一组数分别代替方程组中的使式中个等式都成立，则称有序数组是方程组的一组解.解方程就是要找出方程组的解111211212222124.14.1nnmmmnmaaabaaabAaaab线性方程组的全体系数及常数项所构成的矩阵＝称为方程组的增广矩阵，1112121222124.1.nnmmmnaaaaaaAaaa而由全体系数组成的矩阵＝称为方程组的系数矩阵12124.1,,,,,,,TTnmAxbxxxxbbbb方程组可以用矩阵表示为＝其中＝如果两个方程组有相同的解集合，则称它们是同解方程组125344.1123.1032135601912.kAxxxxx定义　下列三种变换称为线性方程组的初等变换：用一个非零常数乘方程的两边把某方程的倍加到另一方程上互换两个方程的位置线性方程组经初等变换化为阶梯形方程组后，每个方程中第一个未知量通常称为主变量，其余未知量称为自由未知量例如　对增广矩阵作初等行变换，化为－则，，为主变量，，为自由未知量121212124.2010230.ttttAxAxAx定义　向量组，，，称为齐次方程组＝的基础解系如果　　，，，是＝的解；　　，，，线性无关；　　＝的任一解都可由，，，线性表示121211220,,,,0tttAxccccccAx如果，，，是齐次方程组＝的一组基础解系，那末，对任意常数　　　　是齐次方程组＝的通解主要定理　1112111222221114.1.4.24.10004.10rnrnrrrnrrrrnaaaadaaadAaaddddrnr定理线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解方程组定理　设元线性方程组为，对它的增广矩阵施行高斯消元法，得到阶梯形矩阵　　　　　　　　如果，方程组无解；如果＝，方程组有解，而且当＝时，有惟一解，当.n＜时有无穷多解4.34.2.14.2.24.20rAnAmnmnA定理齐次方程组有非零解　　　　　　　＜　　　　　　　的列向量线性相关推论　当＜时即方程的个数＜未知量的个数时，　　　齐次线性方程组有非零解推论　当＝时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是　　　　行列式＝124.4.4.500.AxbrArAAxAx定理有解判定定理　非齐次方程组＝有解的充要条件是　　　其系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即＝定理齐次方程组解的性质如果，是齐次方程组＝的两个解，那末其线性组合仍是　　该齐次方程组＝的解4.61.20.AxbAxbAxAxb定理线性方程组解的性质如果，是线性方程组＝的两个解，则－是导出组的解如果是线性方程组＝的解，是导出组＝的解，　则＋是＝的解4.74.200.rArnAxnrAxnrA定理设齐次线性方程组系数矩阵的秩＝＜，　则＝的基础解系由－个解向量构成，　即＝有－个线性无关的解向量12001122124.80,.nrnrnrnrAxbrArArAxAxbAxbcccccc－－定理解的结构对非齐次线性方程组＝，若＝＝　　且已知，，，是导出组＝的基础解系，　　是＝的一个特解，则＝的通解为　　　　　　＋++　　　　其中，，，为任意常数4.91AxbrArAbA定理非齐次方程组＝无解　　　＋＝　　　不能由的列向量线性表示121212,,,,,,,,,0,,,,1,2,,.TTijnnmnnjAarArxxxxbbbbAjnAjBAbAxb齐次与非齐次线性方程组的有关结果表　设＝　又设＝，其中为的第个列向量，　＝　为线性方程组＝的增广矩阵0Ax齐次线性方程组＝Axb非齐次线性方程组＝判断有解必有解1212120nnnrArBbbrAmmnA＝可由，，，线性表示，，，与，，，，等价＝当时，无解121nrBrAb＝＋不能由，，，线性表示0Ax齐次线性方程组＝Axb非齐次线性方程组＝判断惟一解无穷多解解的个数120nrAnAmn＝，，，线性无关当时120nrBrAnAmn＝＝，，，线性无关当有解时当时120nrAnAmnmn＜，，，线性相关＝当12,,,0,nrArBnAmn线性相关　　　当有解时＝有解时解的结构112212120nrnrnnrxkkkkkkRAx－－－通解为＝＋＋＋，，，其中，，，是＝的基础解系112212120.nrnrnnrxkkkkkkRAxAxb－－－通解为＝＋＋＋＋，，，其中，，，是＝的基础解系是＝的特解基础解系典型例题1,112,12,10,01000100010000000000ijmnrnrnrrnnAxAarAnrAnAxAkkkkAkk设齐次线性方程组为＝，其中＝且＜如果＝，则方程组＝只有零解，没有基础解系在求基础解系时，首先将系数矩阵用初等行变换化为最简形矩阵：初等行变换11,11122,112,110000rrnnrrnnrrrrrnnAxxkxkxxkxkxxkxkx回代得与＝同解的方程组：　+　　121,,,,,rrnxxxxx＋保留称为主未知量在等号左边，将称为自由未知量移到等号右边，得11,11122,112,11rrnnrrnnrrrrrnnxkxkxxkxkxxkxkx＝-＝-nrnr对－个自由未知量分别取－组数：12100010,,,001rrnxxx1,11,11,1,1,1,112,,,100010001rrrrrrrrrnrnrkkkkkk代入上面的主未知量的表达式，得到方程组的－个解向量＝＝＝0.Ax它们即为＝的一个基础解系求基础解系的另一方法是由上面的主未知量表达式直接得到参数形式的通解：11,11,21,1,21122100010001rrnrrrrrrnrnrrnxkkkxkkkxcccxx再写成向量形式：　　　.0nrAx抽出右边的－个列向量即得＝的基础解系11,111,221,11,22121122,,,rrnnrrrrrrrnnrnrrrnnrxkckckcxkckckccccxcxcxc－＝-＝-　　　　　为任意常数　　　　　　　　　　103124.121743012130AAx例　设＝，则＝的基础解系中－－　　　所含解向量的个数是＿＿＿0103121031221743011211213002242103120112100004AxnrArAA解：由于＝的基础解系由－个解向量所构成，故应计算秩　　＝－－－　　　－355322.rAnnrA由于＝　，＝，故－＝－＝，所以基础解系中所含向量个数为典型例题1234123412341234122340234504.234560456703,01,0,2,-3,1,1,-21,02,-3,1312,-3,1,1,-0,,-3,41,,3,-51,122TTTTTTTTxxxxxxxxxxxxxxxxABkkCD＋＋＋＝＋＋＋＝例齐次方程组的基础解系是＋＋＋＝＋＋＋＝　　－，，0，，0　　，0，，-2，12341234123423450123012334560246000045670369000024222.3,01,0TrAnrAABC解：对系数矩阵作初等行变换，有－－－　　　－－－－－－　　＝，－＝－＝，基础解系由个线性无关的解所构成　　而中－，不是方程组的解；是通解形式，不是基础解系；　中两个解线性　相关；故只.D有符合基础解系的定义要求.注意　判断基础解系要从是不是方程组的解；是否线性相关及向量个数等三个方面来思考351103102121300013532ArAnrAxx－解：系数矩阵＝已是阶梯形，由＝，知－＝－＝自由未知量是，124