实变函数论新编第一章答案 魏勇

),1(,}{.61111nAABABAininnn是一集列，作设)1(}{11nABBiniinin且是一列互不相交的集，则1111111)]([)(BACABAABBimimimimm,1,1时则当证明：设nnm.])[()]([111111ACAAACAAimimimim,1时当n)]([)]([1111ininimimACAACA)()(1111ininimimnmAAAABB.)]([]([1111ininimimCAACAA是一列互不相交的集。故}{nB;,1111iniiniBBxAxAx，则若又对，所以，有由于对ininininnAAAABn1111.11iniiniAB，使得，则若0),,,3,2(001iAxniiAx.),1(110000iiiiiiiBBAAxiiAxni从而但.11iniiniAB故.11iniiniBA即总有.),0()1,0(.7212，求集列的上、下极限，设nAnAnn222211212:nnnnAAAAAAn解：由于对).,0(),0(lim11NnNnNnnAA,),,0(nNnnNnAA所以.lim11NnNnNnnAA，证明：若]21,0[]2,0[.82mmAm，]12,0[]121,0[12mmAm}.00{}00{lim.2xxyyAnn），（），（）（}.00{lim.1），（）（nnA则）证明：（1nnAlim00），（.lim}00{nnA），（即nnAyxlim,）（nAn），，有（00,,,,,122nnAyxAyxNnN）且（）有（），（）（00,yx.lim}00{nnA），（即.lim}00{nnA），（故nANnN），有（00,,1nAyxNnN）有（,,,nnnAyxNnNAyx),(,,lim),().2(使左nAyxn),(,使存在无穷多个]12,0[]121,0[),(,]21,0[]2,0[),(,122nnAyxnnnAyxnnn使或存在无穷个使存在无穷多个),0[,00),,0[yxyx或.}00{}00{),(右），（），（xxyyyx.右故左}00{}00{),(xxyyyx），（），（右),0[,00),,0[yxyx或NyNxNxNy0,,00,,0使得或使得120,12,,,020,2,,0nyNnNxnxNnNy有当或有当]12,0[]121,0[),(,12,],21,0[]2,0[),(,2,122nnAyxNnNnnAyxNnNnn有当或有当nAyxn),(,使存在无穷多个左nnAyxlim),(.左故右.右即左的对应，并写出这一对应的和作11),()1,1(.9)2tan()(xxfx.11),()1,1(对应的到是则f),()1,1(:.f令解.解析表达式..11项式组成一可数集证明：所有有理系数多：证明：对n从而所有有可数故集变量各自跑遍一个可数.,nAQ.1可数理系数多项式组成之集nnA}{102210QaaaxaxaxaaAnnnn，，，所确定，且每一个，，，个变量的元素由naaan101],,[],[)(0baxbaxf单增，在证明：设],[).0()0()(000bafxfxfxxf在记间断，则在若);()0()0()(0000xfxfxfxxf连续，则在若BAg:令..13点至多可数证明：单调函数的间断},))0(),0(({BAxxfxf,A上的间断点集为))0(),0(()(xfxfxgx.的一一对应到是则BAg单增，对在由，不妨设，],[,2121bafxxAxx，有),2(),2,(221211xxxyxxxx)()0()2()0()(222111xfxfxxfxfxf由上式得分别令,0,021xyxx),()()2()()(2211xfyfxxfxfxf.)0()0()0()0(2211），（），（xfxfxfxf于是.10至多可数至多可数，从而题知，开区间构成，由中元素是由互不相交的故ABB)](),([]),([],[)(.14bfafbafbaxf在单增，且在设.],[)(上连续在中稠密，证明baxf使得则],,[0bax且),0()0(00xfxf所以这与点内只能取到一的函数值在由于),())0(),0((000xfxfxff单增，在间断，由于在若证明],[)(],[)(:baxfbaxf)],(),([))0(),0((00bfafxfxf中稠密矛在)](),([]),([bfafbaf.],[)(上连续在盾，故baxf则解：取},,1,,31,21{nA.11]1,0[)1,0(.15对应之间的和作}1,0{])1,0[(]1,0[],)1,0[()1,0(AAAA]1,0[)1,0(:f令Axxnnxnxxfx)1,0(,),4,3(1,21210)(，.11]1,0[)1,0(对应的到是则f.~,.16***可数，且满足AAAAAAaA},,,,,{.1.21noaaaAaA，设若证明：，且则取AAAaaaAn~,},,,,{*242*.},,,,{-1231*可数naaaAA.-,.200为无限集且可数，则若AAAAaAo为至多可数集，则否则，若0AA.矛盾可数，与aA.~10.2.10AAA知故由定理）（00AAAA.,~,,0***0*可数且则记AAAAAAAAAA.11,]1,0[.17对应并建立证明：cQ]1,0[]1,0[:Qf令QAxxnnxrnnxnxfxn]1,0[,),3,2,1(122),3,2,1(2212)(，，},,2,,32,22{nA证明：记}].,,,,{[)]1,0([]1,0[)]1,0([]1,0[21nrrrAQAAQAQ，则},,,,,{]1,0[21nrrrQ.]1,0[.11]1,0[]1,0[cQQf故对应的到是则.,.18集合可数的所有有限子集作成的证明设AaA}.,,,,{.21naaaAaA，所以设由于证明：),,2,1,0}(,,,),,,({.2121iAaaaaaaAiinnnnnni记的所有可数，从而个元素所成之集，则中为即AAiAAii.0可数有限子集作成的集合iiA明它其中元素彼此互异，证为一序列设,}{.19nx.为的集的子序列全体组成势c),3,2,1(}{0}{1ixxxxaiininii，，其中令,.0})({,}{21innaaaxfAxii，对的子序列是证明：设}}{}{}{{nnnxxxAii中的二进制小数，且为则]1,0(})({inxf],1,0(:11Af.]1,0(cA于是件是它可与其为无限集的充分必要条证明A.20.本身的某一真子集对等题知，存在真子所以由”由于“证明：16,.aA.~,00AAAA使得集且为有限集，设若反证”“},,,,{)(21naaaAA0110:.~AAfAAA则存在的真子集存在)(iiafa，这与，于是即AnAafafafAn0210)}(,),(),({.0为无限集的真子集矛盾，故为AAA.),(,),().1(00为无限集有对EPUPPUEP.),(为无限集EPU).,()(),().1(00PUPUPPU，”对“证明：从而为无限集，所以由于.)(00EPUEP为无限集，有”由于对“EPUPPU),(,),(0.),(000EPEPUPP为无限集，故，有特别地对.),(,),().2(0000EPUPPUEPo且，知”由“，且”由于“EPUPPU),(,),(0，又由邻域的性质知，),()(0PUPU.),()(00oEPEPUPU，即所以有.),(,),().2(00EPUPPUEPo且证明：.21；，，求且设111111,,}],1,0[{).1.(22EEEERQxxxEo时，的子集，即看成将}]1,0[,0)({).2(221QxxERE；，求1111,,EEEEo.,,]1,0[).3(2222212EEEERREo，中各自求、分别在.]1,0[).1(1111oEEEE，解01][x01x,).2(1oE.}]1,0[,0)({211EExxE，中：在221]1,0[).3(EER}.1,0{),1,0(22EEo.}0{]1,0[22222oEEEER，中：在核、闭包、边界：求下列集合的导集、内.23.1}),({).2(;1}),({).1(224223yxyxEyxyxE.).1(33333oEEEEE，解.1}),({1}),({,).2(224224444yxyxEyxyxEEEEo，其中边界的导集、内核、闭包、求,.245E.,0,00,1sin),(5RxxxxyyxE.]1,1[),0(55555oEEEyyEE，解：:.25是闭集，证明是开集，设FG.).2(;).1(是闭集是开集GFFG开；从而闭，闭，所以开，由于证明CFCGFG:.闭开，CGFGFCFGFG.)(),(,).1(开对上连续在开，则afGafGaGfG.)(),(,).2(闭对上连续在闭，则afFafFaFfF在开集由于”对“证明fafGxa),(,).1(:0即上连续，所以,)()(lim00axfxfGxx.)(,),(,00axfGxUx有当的内点，所以为又于是GxafGGxU00).(),(),(),()(00afGGxUxU:.26证明.)(开故afG))((),)((,0,000xffGxffGGx”“开，且开，于是))(())((00xffGxffG使得从而,0有即当),,(0xUx,)()()(00xfxfxf.0上连续在连续，从而在故Gfxf).)(())((000xffGxffGx),)(())((),(000xffGxffGxU),(}{,])([,).2(0afFxafFxan互异点列”“.)(),(,).2(闭对上连续在闭，则afFafFaFfF.)(),(0axfnxxnn且使得，，于是特别地)()()(lim00afFxaxfxfnn，上连续