第三节 正交变换法化二次型为标准型.

第三节正交变换法化二次型为标准形正交变换：标准正交基到标准正交基的坐标变换(可逆的线性变换)X=CY，其中C是正交矩阵.用正交变换X=CY化二次型TXAX为标准形的问题，等价于求正交矩阵C,使得：112(,,...,),TnCACCACdiag此式表明，当C为正交矩阵时，由上式所得的对角矩阵既与A合同，又与A相似，且对角线元素全是A的全部特征值。由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定有n个特征向量组成的标准正交组,则问题就可以得到完全解决.定理1n阶对称矩阵的特征值必为实数.定理1的意义.,0,0)(,以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系数方程组线性方程组所以齐次为实数的特征值由于对称矩阵EAxEAAiii,,对应的特征向量为复向量的特征值为对称矩阵设复数xA证明：.0,xxAx即,的表示用共轭复数,的表示xx共轭复向量xAxA则.xxAx于是有AxxTAxxT及AxxTxxT,xxTxAxTTxxATxxT.xxT两式相减，得.0xxT,0x但因为,0,即.是实数由此可得,0121niiniiiTxxxxx所以2,,,()0(),.AnAkAkEAXkrEAnkk定理设为阶对称矩阵是的重特征根则矩阵的对应于的特征子空间的维数恰等于即齐次线性方程组：的基础解系恰有个解向量，亦即：从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量00.nAkAk对比复习：第五章定理6：设是阶矩阵的重特征值，则的对应于的特征子空间的维数不超过重数由定理1和定理2可得:n阶对称矩阵A一定有n个线性无关的实特征向量，从而它必相似于对角矩阵.现须说明，一定存有A的n个特征向量组成的标准正交组，为简化计算，先看下面的定理：1212123AXXAXX定理设和是对称矩阵的互异特征根，和分别的属于它们的特征向量，则与正交.11122212,,,XAXXAX证明：,,AAAT对称11111TTTXAXX11,TTTAXXA于是11212212TTTXXXAXXX121212()0,,TXX120,TXX故：即二者正交.由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，可得以下定理4：1214TnnACCACCACO定理对阶对称矩阵，一定存在正交矩阵,使得：.对角线元素是矩阵A的全部特征值.122211225,(),...TTnnnfXAXXCYCCfYBYyyy定理任一个元实二次型一定存在正换把该二次型化为标准形：+.二次项系数是矩阵A的全部特征值.利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：1,A求矩阵的特征值2,求特征值的特征向量3,将属于同一特征值的特征向量正交化4,单位化特征向量5单位化的向量为列，构造正交矩阵；从而正交对角化对称矩阵.422242224.TACCAC例1：设对称矩阵求一个正交矩阵，使得为对角矩阵，并写出此矩阵注：(1)求出特征值后，正交对角化后的矩阵已经确定;(2)每次只需对同一特征值的特征向量正交化即可.(3)每一特征值的特征向量正交化后，单位化，构成正交矩阵，特征向量与特征值要位置一致.(4)正交矩阵不唯一，依赖于基础解系参数的选择.121314232434222222fxxxxxxxxxxxx例2：用正交变换化二次型为标准形，并求相应的正交变换.注：此种类型需要先写出二次型矩阵.补充知识(1)矩阵等价.设A,B为同型矩阵，若A经过有限次初等变换可以化为B,则称A与B等价.判别方法：A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).(2)矩阵相似.方阵，逆判别方法：A与B均为n阶矩阵，若A与B的特征值相同且都可以相似对角化，则A相似与B.特别的：A与B均为n阶对称矩阵，由于对称矩阵都可对角化，故只要A与B相同，则A相似与B.(3)矩阵合同.实对称矩阵，转置判别方法：A与B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是：矩阵A与B的正负特征值个数相同.002101012001AB练习1：设，，则()A相似但不合同B合同但不相似C相似且合同D不合同也不相似BA：-2，1，2B：1，1，-111010010AB练习2：设，，则()A相似但不合同B合同但不相似C相似且合同D不合同也不相似22(1)0EAEBC1.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．.2det,,2的值试求行列式的秩为且满足阶实对称矩阵设AErAAAAn思考题A的特征值：r个1，n-r个0作业：22212312313,,222(0)1(1),.(2),.fxxxaxxxbxxbAabXQY1：设二次型其中矩阵的特征值之和为，特征值之积为,?12，求求正交变换使得二次型经过该正交变换化为标准二次型123222123121322233233,,3,131=,9.313TfxxxXAXXQYfyybykkQkkAAkk2：设二次型经过正交变换化为标准形其中正交矩阵又，求矩阵22212312312123,,(1)(1)22(1)2.(1).(2),.3,,=0.fxxxaxaxxaxxaXQYfxxx3：已知二次型的秩为求求正交变换把二次型化为标准二次型求的解