毕业论文-求函数极限的方法

目录摘要…………………………………………………………………………………...….....1Abstract…………………………………………………………………………………...........11引言……………………………………………….……………………………….........22求函数极限的方法…………………………....…………………………..........................22.1利用定义求极限.........................................................................................................22.2利用迫敛性求极限.....................................................................................................42.3利用归结原则求极限.................................................................................................42.4利用洛比达法则求极限.............................................................................................52.5利用泰勒公式求极限.................................................................................................72.6用导数的定义求极限.................................................................................................82.7利用定积分求极限.....................................................................................................92.8利用级数收敛的必要性求极限...............................................................................102.9利用Stolz公式求极限...........................................................................................103总结.......................................................................................................................................13参考文献……………………………………………………………………………………...13吉首大学毕业论文1求函数极限的方法欧阳枭（吉首大学数学与统计学院，湖南吉首416000）摘要：函数极限是高等数学的重要组成部分，它是微积分的理论基础，所以求函数极限成为这一部分的重中之重.灵活掌握函数极限的求法是学好高等数学的基础.函数的极限有很多种求法，比如:利用函数极限的定义、利用泰勒公式、利用洛必达法则、利用级数收敛性、利用Stolz公式等.关键词:函数极限;洛必达法则;泰勒公式;级数收敛性;Stolz公式.TheCountingMethodsofFunctionLimitOuyangXiao(CollegeofMathematicsandStatistics,JishouUniversityJishouHunan416000)Abstract:Functionlimitwhichisanimportantpartofadvancedmathematics,isthetheoreticalbasisofcalculus,Therefore,countingthefunctionlimitisatoppriorityforit.Theflexibilitytomasterthecountingmethodsofthefunctionlimitisthefoundationoflearningadvancedmathematicswell.Therearevariouswaystocountingthefunctionlimit,suchasusingthedefinitionoffunctionlimit,theTaylor'sformula,theL'Hopital'srule,theseriesconvergence,theStolzformulaandsoon.Keywords:Thefunctionlimit;theL'Hopital'srule;theTaylor'sformula;theseriesconvergence;theStolzformula吉首大学毕业论文21引言在自然科学、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段.既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限.在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文将通过一些典型例题来讨论求函数极限的方法.2求函数极限的方法2.1利用定义求极限定义2.1.1(x趋于a时的函数极限)]4[：函数xf在点ax的空心邻域内有定义，A是一个确定的数，若对任意的正数0，存在0，使得当ax－0时，都有()Axf－，则称x趋向于a的极限存在，且为A，记作()Axfax=→lim.下面举例说明如何根据定义来求这种函数极限，我们要特别注意的值是如何确定的，它和有什么关系.例2.1.1证明()4221=+xx→lim证：∀＞0，()12422－－xx=+＜成立，解得1x＜2取,2=于是存在,2:x∀0＜1－x＜,有()422－+x＜故()4221=+xx→lim吉首大学毕业论文3注：一般的取值要依赖于，但它不是由唯一确定的.在上例中还可以把取得更小一些，这取决于函数式放缩的程度.定义2.1.2(x趋向时的函数极限)]4[：设f为定义在[)∞+,a上的函数，A为定值，若对任给正数，存在正数M(≥a）使得当x＞M时有()Axf－＜.则称函数f当x时以A为极限，记作()Axfx=+∞→lim或()()∞→→+xAxf.x趋向于时的函数极限的定义与定义2.1.2相似，只要把定义中的x＞M改为Mx－即可.下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法.例2.1.2证明∞→+nlimnnnn23122++－=31分析这是一个关于自变量n趋向于无穷大的函数极限，n相当于定义中的x，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限.证：2221153323332nnnnnnn－－，当2,530,nn0332322+nnnn－，有222115513239333nnnnnnnnn－－5－≤－，0∀，1,2maxN当Nn时，有2211,323nnnn－故nlimnnnn23122++－=31注1在上式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便.但要注意这种放大必须要“适度”，这样才能根据给定的来确定N，同时要注意此题中的N不一定非要是整数，只要是正数即可.注2函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量吉首大学毕业论文4趋向某点时函数值的变化规律.2.2利用迫敛性求极限我们常说的迫敛性或夹逼定理]4[：若,0aUx有,xhxgxf且.limlimbxhxfaxax则bxgaxlim.例2.2.1求极限nnnnnnnnn222...2211lim分析：即nknknnkC12，易知knnk2关于k单调递增.即得nnnnCnnnn2221当时n，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩.解：对nkknnk12各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变.就得如下不等关系：121122121212nnnnnnkCnnnknnnknnk令时n，上式左、右两端各趋于21，得21...2211lim222nnnnnnnnn2.3利用归结原则求极限归结原则]4[设f在00;'Ux内有定义，0limxxfx存在的充要条件是：对任何含于00;'Ux且以0x为极限的数列nx，极限limnnfx都存在且相等．例2.3.1求极限211lim1nnnn吉首大学毕业论文5分析：利用复合函数求极限，令21211xxxuxx，1xvxx求解．解：令21211xxxuxx，1xvxx则有limxuxe；lim1xvx，由幂指函数求极限公式得211lim1limxvxxxuxexx，故由归结原则得221111lim1lim1nxnxennxx注1归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0xx，0xx，x和x这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注2若可找到一个以0x为极限的数列nx，使limnnfx不存在，或找到两个都以0x为极限的数列'nx与''nx，使'limnnfx与limnnfx都存在而不相等，则0limxxfx不存在．2.4利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x的空心邻域00Ux内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例2.4.1求极限21coslimtanxxx解：由于2lim1coslimtan0xxxx，且有1cos'sinxx，22tan'2tansec0xxx，由洛比达法则可得:吉首大学毕业论文621coslimtanxxx2sinlim2tansecxxxx3coslim2xx12例2.4.2求极限3limxxex解：由于3limlimxxxex，并有'xxee，32'30xx，由洛比达法则可得：32limlim3xxxxeexx，由于函数xfxe，23gxx均满足洛比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则：32limlimlimlim366xxxxxxxxeeeexxx注1如果0'lim'xxfxgx仍是00型不定式极限或型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限0'lim'xxfxgx是否存在，这时'fx和'gx在0x的某邻域内必须满足洛比达法则的条件．注2若0'lim'xxfxgx不存在，并不能说明0limxxfxgx不存在．注3不能对任何比