专题3.4以平面几何图形的变换为背景的解答题2018年中考数学备考优生百日闯关系列解析

第四关以平面几何图形的变换为背景的解答题1．如图1，ABC中，CDAB于D，且::2:3:4BDADCD．（1）试说明ABC是等腰三角形．（2）已知240cmABCS，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．①若DMN的边与BC平行，求t的值．②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①t为5或6；②能，t值为9或10或496，理由见解析在Rt△ACD中，AC＝22ADCD＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：S△ABC＝12×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．①当MN∥BC时，AM＝AN，即10－t＝t，∴t＝5；当DN∥BC时，AD＝AN，得：t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t－4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t－4，过点E做EF垂直AB于F，因为ED＝EA，所以DF＝AF＝12AD＝3，在Rt△AEF中，EF＝4；点睛：本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．学/科**网2．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．（1）理解：如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积.（2）探究：小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即2222ABCDADBC．你认为他的发现正确吗？试说明理由．（3）应用：①如图2，在△ABC中，90ACB，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（01t），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值．②如图3，在△ABC中，，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．【答案】（1）28；（2）证明见解析；（3）①29；②2232EGBC【解析】试题分析：（1）由于对角线互相垂直，所以四边形ABCD的面积可化为12AO•BD+12CO•BD的和；（2）由于对角线互相垂直，由勾股定理分别表示出AB2、CD2、AD2、BC2；（3）①过点P作PD⊥AC于点D，构造△PAD∽△BAC后，利用BP2+CQ2=PQ2+BC2列出关于t的方程；②故答案为：28；（2）∵四边形ABCD是“垂直四边形”，∴AC⊥BD.由勾股定理可知：AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2)，AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2)，∴AB2+CD2=AD2+BC2；∴AP=5t，CQ=6t∴ADPD5t6810，∴AD=3t，PD=4t.∵四边形BCQP是“垂直四边形”.∴BP2+CQ2=PQ2+BC2.∴(10-5t)2+(6t)2=(6-9t)2+82，解得t=29或t=0（舍去）.∴当四边形BCQP是“垂直四边形”时，t的值为29.②如图3，连接CG、BG、BE、CE，CE与BG交于点O由题意知：EA=BA，AC=AG∠EAB=∠CAG=90°∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC∴∠EAC=∠BAG在△EAC与△BAG中{EABAEACBAGACAG，点睛：本题考查的是垂直四边形的概念和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，正确理解垂直四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键.3．在四边形ABCD中，180BD，对角线AC平分BAD.学科..网（1）如图1，若120DAB，且90B，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“90B”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若90DAB，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.【答案】（1）ACADAB.证明见解析；（2）成立；（3）2ADABAC.理由见解析.【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD=12AC，AB=12AC即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；（3）结论：AD+AB＝2AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如图1中，（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°．∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴AE＝245ACACcos＝∴2ADABAC＝.4．△ABC和△CDE是以C为公共顶点的两个三角形．（1）如图1，当△ABC和△CDE都是等边三角形时，连接BD、AE相交于点P．求∠DPE的度数；（2）如图2，当△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°时，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K．求证：QK⊥BE；（3）在（1）的条件下，N是线段AE与CD的交点，PF是∠DPE的平分线，与DC交于点F，CN=2，∠PFN=45°，求FN的长．【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）DE、NE,再利用相似三角形的性质可得DE2=NE·PE，求出PE、PN,由此即可解决问题;解：（1）如图1中，设AE交CD于J．∴∠DPE=60°．（2）如图2中，延长CQ到R，使得CQ=QR，连接AR、DR．∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，学/++科网∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CE=CD，∴∠BCE+∠ACD=180°，∵AQ=DQ，CQ=QR，∴四边形ACDR是平行四边形，∴∠CKB=90°，即CK⊥BE．（3）如图3中，作NH⊥EC于H，NG⊥PF于G，在EH上取一点K使得NK=EK．∵∠DPE=60°，PF平分∠DPE，∴∠NPPF=30°，∵∠PFN=45°，∠NGF=90°，∴GF=GN=PN，FN=GN，∴∠PNF=∠CNE=105°，∠CEN=15°，∵KN=KE，∴∠KNE=∠KEN=15°，∴∠NKH=30°，在Rt△CNH中，∵CN=2，∠CNH=30°，∴CH=CN=，NH=CH=，在Rt△NKH中，NK=KE=2NH=2，HK=NH=3，∴EN===6+2，CE=DE=4+2∵∠DEN=∠PED，∠EDN=∠EPD，∴△DEN∽△PED，∴DE2=NE•PE，∴可得PE=，PN=PE﹣EN=，∴FN=××=．5．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不须证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF；（2）是；（3）成立，理由见解析；（4）CP=QC﹣QP=51．【解析】试题分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC=2222CD+QD=2+1=5，∴CP=QC﹣QP=5-1．考点：四边形的综合知识．6．如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．【答案】（1）DM⊥FM，DM=FM，证明见解析；（2）DM⊥FM，DM=FM．【解析】试题分析：（1）连接DF，NF，由四边形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，即可得到结论；（2）连接DF，NF，由四边形ABCD是正方形，得到AD∥BC，由点E、B、C在同一条直线上，于是得到AD∥CN，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，于是结论得到．试题解析：（1）如图2，DM=FM，DM⊥FM，证明：连接DF，NF，∵四边形ABCD和CGEF是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∵∠EFN+∠NFC=90°，∴∠DFC+∠CFN=90°，∴∠DFN=90°，∴DM⊥FM，DM=FM学--科-网（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM，证明如下：如图3，连接DF，NF，连接DF，NF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∵点E、B、C在同一条直线上，∴A