上海高中数学之立体几何练习(打印).

立体几何练习题一、选择题1．已知平面外不共线的三点,,ABC到的距离都相等,则正确的结论是A.平面ABC必平行于B.平面ABC必与相交C.平面ABC必不垂直于D.存在ABC的一条中位线平行于或在内2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48（B）18（C）24（D）364．已知二面角l的大小为060，mn、为异面直线，且mn，，则mn、所成的角为（A）030（B）060（C）090（D）01205．已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是4，B、C两点的球面距离是3，则二面角BCOA的大小是（A）4（B）3（C）2（D）237．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是A．nmnm,,B．nmnm//,,//C．nmnm//,,D．nmnm,,8．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是A．AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BCD．若AB=AC，DB=DC，则ADBC9．若l为一条直线，，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①，；②，∥；③ll，∥．其中正确的命题有A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（A）4（B）3（C）2（D）2411．如图，正三棱柱111ABCABC的各棱长都为2，EF、分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（A）2（B）3（C）5（D）712．若P是平面外一点，则下列命题正确的是（A）过P只能作一条直线与平面相交（B）过P可作无数条直线与平面垂直（C）过P只能作一条直线与平面平行（D）过P可作无数条直线与平面平行13．对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（A）平行（B）相交（C）垂直（D）互为异面直线14．对于平面和共面的直线m、,n下列命题中真命题是（A）若,,mmn则n∥（B）若m∥,n∥,则m∥n（C）若,mn∥,则m∥n（D）若m、n与所成的角相等，则m∥n15．关于直线m、n与平面、，有下列四个命题：①若//m，//n且//，则//mn；②若m，n且，则mn；③若m，//n且//，则mn；④若//m，n且，则//mn。其中真命题的序号式A．①②B．③④C．①④D．②③16．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线12,ll与同一平面所成的角相等，则12,ll互相平行④若直线12,ll是异面直线，则与12,ll都相交的两条直线是异面直线其中假命题．．．的个数是（A）1（B）2（C）3（D）417．如图，平面平面，,,ABAB与两平面、所成的角分别为4和6。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为'A、B，则:''ABAB（A）2:1（B）3:1（C）3:2（D）4:318．如图，平面平面，,,ABAB与两平面、所成的角分别为4和6。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为'A、B，若AB=12，则''AB（A）4（B）6（C）8（D）9二、计算题1．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，//,ABDC,ACBDAC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又2,BO2,POPBPD.（Ⅰ）求异面直接PD与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角PABC的大小；（Ⅲ）设点M在棱PC上，且,PMMC问为何值时，PC平面BMD。【解】解法一：PO平面ABCD，POBD又,2,2PBPDBOPO，由平面几何知识得：1,3,6ODPDPB（Ⅰ）过D做//DEBC交于AB于E，连结PE，则PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，四边形ABCD是等腰梯形，1,2,OCODOBOAOAOB5,22,2BCABCD又//ABDC四边形EBCD是平行四边形。5,2EDBCBECDA'B'ABE是AB的中点，且2AE又6PAPB，PEA为直角三角形，22622PEPAAE在PED中，由余弦定理得：222cos2PDDEPEPDEPDDE35421515235故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为21515。（Ⅱ）连结OE，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO为二面角PABC的平面角2sin2POPEOPE，045PEO二面角PABC的大小为045（Ⅲ）连结,,MDMBMO，PC平面,BMDOM平面BMD，PCOM又在RtPOC中，3,1,2PCPDOCPO，233,33PMMC，2PMMC故2时，PC平面BMD解法二：PO平面ABCDPOBD又PBPD，2,2BOPO，由平面几何知识得：1,2ODOCBOAO以O为原点，,,OAOBOP分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)O，(2,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，(0,1,0)D，(0,0,2)P（Ⅰ）(0,1,2)PD，(1,2,0)BC，3,5,2PDBCPDBC。cos,PDBCPDBCPDBC21515。故直线PD与BC所成的角的余弦值为21515。（Ⅱ）设平面PAB的一个法向量为(,,)nxyz，由于(2,2,0)AB，(2,0,2)AP，由00nABnAP得2xyzx取(1,1,2)n，又已知平面ABCD的一个法向量(0,0,1)m，2cos,2mnmnmn。又二面角PABC为锐角，所求二面角PABC的大小为45（Ⅲ）设00(,0,)Mxz，由于,,PMC三点共线，0022zx，PC平面BMDOMPC00(1,0,2)(,0,)0xz0020xz由（1）（2）知：023x，023z。22(,0,)33M2PMMC故2时，PC平面BMD。2.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=2,求:（I）直线AB分别与平面α,β所成角的大小；（II）二面角A1－AB－B1的大小。【解】解法一：（Ⅰ）如图,连接A1B,AB1,∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,∴AA1⊥β,BB1⊥α.则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.Rt△BB1A中,BB1=2,AB=2,∴sin∠BAB1=BB1AB=22.∴∠BAB1=45°.Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1=AA1AB=12,∴∠ABA1=30°.故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.（Ⅱ）∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α。在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B。过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=2.∴Rt△AA1B中，A1B=AB2－AA12=4－1=3。由AA1·A1B=A1F·AB得A1F=AA1·A1BAB=1×32=32,∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=A1EA1F=63，∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin63.解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如图,建立坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(2,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得AF→=tAB→,即(x,y,z1)=t(2,1,1),∴点F的坐标为(2t,t,1t).要使A1F→⊥AB→,须A1F→·AB→=0,即(2t,t,1t)·(2,1,1)=0,2t+t(1t)=0，解得t=14，∴点F的坐标为（24,14,34）,∴A1F→=(24,14,34).设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0,12,12）。∴EF→=(24,14,14).又EF→·AB→=(24,－14,14)·(2,1,1)=121414=0,∴EF→⊥AB→,∴∠A1FE为所求二面角的平面角.又cos∠A1FE=A1F→·EF→|A1F→|·|EF→|=(24，14，34)·(24，－14，14)216+116+916·216+116+116=18－116+31634·12=13=33,∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos33.3．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO,于是，PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23.∴四棱锥P-ABCD的体积V=31×23×3=2.（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在Rt△AOB中OA=3,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－3,0)，B(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,3)。E是PB的中点，则E(21,0,23)。于是DE=(23,0,23),AP=(0,3,3).设DE与AP的夹角为θ，有cosθ=4233434923，θ=arccos42。∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos42.解法二：取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点，得EF∥PA,∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3=OP,于是,在等腰Rt△POA中,PA=6,则EF=26.在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=3.cos∠FED=34621DEEF=42∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos42.4．在直三棱柱111ABCABC中，90,1ABCABBC.（1）求异面直线11BC与AC所成的角的大小；（2）若1AC与平面ABC所成角为45，求三棱锥1AABC的体积。【解】（1）∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)∵∠ABC=90°,AB=BC=1，∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.（2）∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45°.∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=2∴AA1=2。∴三棱锥A1-ABC的体积V=31S△ABC×AA1=26。5．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD