圆的参数方程及应用

圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()xaybR来说，圆的方程还有另外一种表达形式cossinxaRybR(为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。一、求最值例1已知点（x，y）在圆221xy上，求2223xxyy的最大值和最小值。【解】圆221xy的参数方程为：cossinxy。则2223xxyy=22cos2sincos3sin=1cos21cos2sin23222sin2cos2=22sin(2)4，则38k（k∈Z）时，2223xxyy的最大值为：22；8k（k∈Z）时，2223xxyy的最小值为22。【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。二、求轨迹例2在圆224xy上有定点A（2，0），及两个动点B、C，且A、B、C按逆时针方向排列，∠BAC=3，求△ABC的重心G（x，y）的轨迹方程。【解】由∠BAC=3，得∠BOC=23，设∠ABO=θ（403），则B(2cosθ,2sinθ)，C(2cos(θ+23)，2sin(θ+23))，由重心坐标公式并化简，得：22cos()3332sin()33xy，由5333，知0≤x＜1，CxyOAB图1消去θ得：2224()39xy（0≤x＜1＝。【点评】用圆的几何性质，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x的范围的限定。三、求范围例3已知点P（x，y）是圆22(1)1xy上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求c的取值范围。【解】圆22(1)1xy的参数方程为：cos1sinxy，则有：x+y=1+sinθ+cosθ=1+2sin()4，－（x+y）=－1－2sin()4，－（x+y）的最大值为：－1+2，由于x+y+c≥0，所以，c≥－（x+y）恒成立，即c≥－1+2。【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算。四、求斜率例4求函数sin1()cos2f的最大值和最小值。【解】函数sin1()cos2f的值，是以原点为圆心的单位圆上的点（cosθ，sinθ）与点（2，1）所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求得最大值为：43，最小值为：0。Oxy(2,1)图2