【全程复习方略】2015届高考数学第一轮总复习 3.6 简单的三角恒等变换课件 文 新人教A版

第六节简单的三角恒等变换考试说明内容知识要求了解(A)理解(B)掌握(C)简单的三角恒等变换√三年考题13年(5考)：湖北T6新课标全国卷ⅠT16陕西T16浙江T6江西T1312年(3考)：北京T15湖南T18湖北T1811年(3考)：新课标全国卷T11上海T4安徽T15考情播报1.利用三角公式进行化简后研究函数的性质是高考考查的热点2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题3.题型以解答题为主,属中低档题【知识梳理】1.半角公式2sin2α2cos2α212sin222cos121-cos21+cos21cos1+cos2αα2.辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中sinφ=,cosφ=.22ab22bab22aab【考点自测】1.(思考)给出下列命题：①当α是第一象限角时，②对任意角α，都成立.③半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.④公式中φ的取值与a,b的值无关.1cossin.2221costan21cos22asinxbcosxabsin(x)⑤函数y=sinx+cosx的最大值为2.其中正确的是()A.①②B.③④C.③D.④⑤【解析】选C.①错误.α在第一象限时，在第一或第三象限.当在第一象限时，,当在第三象限时，②错误.此式子必须使tan有意义且1+cosα≠0.即≠kπ+且α≠2kπ+π,即α≠(2k+1)π(k∈Z).③正确.由半角公式推导过程可知正确.221cossin2221cossin.22222④错误.由可知φ的取值与a,b的值有关.⑤错误.故其最大值为.2222abcos,sinabab，ysinxcosx2sinx4＝()，22.已知α∈(π，2π)，则cos等于()【解析】选B.因为α∈(π，2π)，所以所以1cos3，26633A.B.C.D.33331cos3，22（，），111cos63cos.22233.化简等于()A.-sinαB.-cosαC.sinαD.cosα【解析】选C.sin2cossincos22sin2cossin2sincossincos2cos2＝2sin2cos1sincos2sin.cos2cos2＝＝＝4．如果α∈，且sinα=那么【解析】选D.因为所以cosα=，而2（，）sincos()44（）（）4242A.B.553232C.D.554sin52，＜＜，3532sincos2sin2cos.4425（）（）（）45，5.(2014·岳阳模拟)函数y=cos4x+sin4x的最小正周期为．【解析】答案：331y3cos4xsin4x2cos4xsin4x22（）2coscos4xsinsin4x2cos4x6662T.42（）（），故26.(2014·孝感模拟)若则＝.【解析】答案：20141tanx20141tanx＝，1tan2xcos2x＋222sinxcosx11sin2xtan2xcos2xcos2xcosxsinx＋＝＝cosxsinx1tanx2014.cosxsinx1tanx＝＝＝考点1利用三角恒等变换化简求值【典例1】(1)已知450°α540°，则的值是()(2)(2014·荆州模拟)化简：sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-cos2α·cos2β＝.1111cos22222A.sinB.cos22C.sinD.cos2212【解题视点】(1)利用倍角公式化简.(2)从角、名、形、次数统一等几个方面入手进行化简.【规范解答】(1)选A.原式＝因为450°α540°，所以225°270°.所以原式＝－sin.故选A.111cos222211cos|sin|.222＝＝22(2)方法一:(从“角”入手,复角→单角)原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·(2cos2α-1)·(2cos2β-1)=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-(4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1)=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-=sin2β+cos2β-=1-=.12121212121212方法二:(从“名”入手,异名化同名)原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β-cos2α·cos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-cos2α·cos2β=cos2β-sin2α·cos2β-cos2α·cos2β=cos2β-cos2β·(sin2α+cos2α)12121212221cos21cos2[sin(12sin)]221cos211cos2.222方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式=1cos21cos21cos21cos21cos2cos22222211(1cos2cos2cos2cos2)(1cos2cos2cos2cos2)4411cos2cos2.22方法四:(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式=(sinα·sinβ-cosα·cosβ)2+2sinα·sinβ·cosα·cosβ-cos2α·cos2β=cos2(α+β)+sin2α·sin2β-cos2α·cos2β=cos2(α+β)-·cos(2α+2β)=cos2(α+β)-·［2cos2(α+β)-1］=.答案：12121212121212【规律方法】1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”等.2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角;降幂或升幂.提醒:在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值.(2)尽量使函数种数最少.(3)尽量使项数最少.(4)尽量使分母不含三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.【变式训练】化简:【解析】原式因为0θπ,所以,所以所以原式=-cosθ.答案：-cosθ(1sincos)sincos22(0).22cos（－）222sincos2cossincos222224cos2（）（－）22cossincoscoscos2222,|cos||cos|22（－）－022cos0,2【加固训练】1.化简：【解析】原式＝答案：2sin22cos.sin4＝（）22sincos2cos22cos.2sincos2＝22cos2.化简：【解析】原式＝答案：42212cosx2cosx2.2tanxsinx44＝（）（）22212cosxcosx122tanxsinx44（）（）22212cosxsinx22sinx4sinx4cosx4＝（）（）（）222111sin2xcos2x1222cos2x.22cosxsin2x42sinx4sinx4＝＝＝（）（）（）（）1cos2x2考点2三角恒等变换在实际问题中的应用【典例2】(2014·邵阳模拟)如图,现要在一块半径为1m,圆心角为的扇形报纸AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ,平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式.(2)求S的最大值及相应的θ角.3【解题视点】虽然P点变化但OP不变,通过构造与角θ所在的直角三角形,将平行四边形的底和高用角θ表示,从而求出S关于θ的函数关系式,进而求解相关问题.3【规范解答】(1)分别过P,Q作PD⊥OB于D,QE⊥OB于E,则四边形QEDP为矩形.由扇形半径为1m,得PD=sinθ,OD=cosθ.在Rt△OEQ中,OE=QE=PD,MN=QP=DE=OD-OE=cosθ-sinθ,S=MN·PD=·sinθ=sinθcosθ-sin2θ,θ∈333333333cossin3（－）0,.3（）(2)S=sin2θ－(1－cos2θ)=sin2θ+cos2θ－=sin(2θ+)－,因为θ∈所以当θ=时，Smax=(m2).1236361236333660,3（），512,sin2,1].66662（），（）（636【互动探究】在本例中若点M与O重合,图形变为如图,记平行四边形ONPQ的面积为S.求S的最大值.【解析】如图，过P作PD⊥OB于D，则由扇形半径为1m，得PD=sinθ，OD=cosθ,在Rt△PND中,因为∠PND=∠AOB=,所以ON＝OD－ND＝cosθ－sinθ,S=ON·PD=(cosθ－sinθ)·sinθ=sinθcosθ－sin2θ=sin2θ－(1－cos2θ)333NDPDsin,333333333612=sin2θ+cos2θ－=sin(2θ+)－，因为θ∈(0,)，所以2θ+∈()，sin(2θ+)∈(,1].当θ=时,Smax=(m2).36123633363665,66612636【易错警示】关注变量的范围本例在求解时容易忽略θ的范围而直接求最值,导致错解,在解决实际问题时,要关注变量的范围,否则容易出错.【规律方法】三角函数应用题的处理方法(1)引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行推理,解决最优化问题.(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的性质,最后作出结论并回答问题.【变式训练】(2014·吉安模拟)已知直线l1∥l2,A是l1,l2之间的一定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作AC⊥AB,且使AC与直线l1交于点C,则△ABC面积的最小值为.【解析】如图，设∠ABD＝α，则∠CAE＝α，所以S△ABC＝·AB·AC＝(0＜α＜).当2α＝，即α＝时，S△ABC的最小值为h1h2.答案：h1h221hhABAC.sincos＝，＝1212hhsin2224【加固训练】1.(2014·台州模拟)如图,已知四边形ABCD中AB∥CD,AD⊥AB,BP⊥AC,BP=PC,CDAB,则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是()A.AB与ADB.AB与BCC.BD与BCD.AD与AP【解析】选D.设AB=a,∠CAB=θ,则AP=acosθ,PC=BP=asinθ,AC=a(cosθ+sinθ),AD=ACsinθ=a(cosθ+sinθ)sinθ,CD=ACcosθ=a(cosθ+sinθ)cosθ，因为CD＞AB,故cos2θ+sinθcosθ＞1，即sin(2θ+)＞,即,故0＜θ＜.A选项：假设AB=AD，则有sin2θ+sinθcosθ=1,即，无解.42232444＜＜42sin242（）B选项：假设AB=BC，则有sinθ=1,则sinθ=，无解.C选项：假设BD=BC，则有sin即1+2sin3θcosθ=sin2θ，无解.D选项：假设AD=AP，则有sin2θ+sinθcosθ=cosθ,令f