7.1--平面向量的概念及线性运算(职高基础模块)

第七章平面向量7.１平面向量的概念及线性运算创设情境兴趣导入如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？动脑思考探索新知aAB如力、速度、位移等．a　加箭头，记作．的向量记作AB，在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量量做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），通常使用有向线段来表示向量．线段箭头的指向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如右图所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面我们经常用箭头来表示方向，带有方向的线段叫做有向线段．平面内的有向线段表示的向量称为平面向量．动脑思考探索新知aAB向量的大小叫做向量的模．向量a,AB，aAB．的模依次记作模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．模为1的向量叫做单位向量．如力、速度、位移等．在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．解位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中的有向线段a与b．abA东南100km.巩固知识典型例题巩固知识典型例题KK图7−４ABCDEFHGMNQPLZ说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量(小方格边长为1)．动脑思考探索新知KK图7−4ABCDEFHGMNQPLZABMN观察图7−4中的向量与，所在的直线平行，两个向量的CDPQ与所在的直线平行，两个向量的方向相反．方向相同；向量方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a与向量b平行记作a//b．规定：零向量与任何一个向量平行．由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．动脑思考探索新知KTK图7−4ABCDEFHGMNQPLZ方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a与向量b平行记作a//b．规定：零向量与任何一个向量平行．由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．下图中，哪些向量是共线向量？动脑思考探索新知KK图7−4ABCDEFHGMNQPLZABMN图7−4中的平行向量与，方向相同，模相等；平行GHTK与，方向相反，模相等．向量向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a=b．与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作－a．规定：零向量的负向量仍为零向量．例2在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．巩固知识典型例题ADCB图7－5O（1）找出与向量DA相等的向量；（2）找出向量DC的负向量；（3）找出与向量AB平行的向量．要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．例2在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．巩固知识典型例题ADCB图7－4O（1）找出与向量DA相等的向量；（2）找出向量DC的负向量；（3）找出与向量AB平行的向量．解由平行四边形的性质，得CBDA；（1）BADCCDDC，；（2）//////BAABDCABCDAB，，．（3）运用知识强化练习ABC1．如图，中，D、E、F分别是三边的中点，试写出EF（1）与相等的向量；AD（2）与共线的向量．FADBEC第1题图EFABCDO第2题图2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出OC（1）与相等的向量；OC（2）的负向量；OC共线的向量．（3）与略．略．创设情境兴趣导入王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200m到达学校（C处）（如总效果是从家（A处）到达了学AC500m200m.ACABBCACABBC位移叫做位移与位移的和，记作图）．王涛同学这两次位移的校（C处）．动脑思考探索新知ACBaba+bab一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A叫做向量a与向量b的和，ABBC，，abAC则向量依次作记作a＋b，即abABBCAC．（7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．动脑思考探索新知（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？动脑思考探索新知ADCB如图所示，ABCD为平行四边形，由于ADBC，根据三角形法则得ABADABBCAC．ABAC这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与AD的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：(1)a＋0=0＋a=a；a＋（−a）=0；(2)a＋b=b＋a；(3)（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．巩固知识典型例题例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h，求该船的实际航行速度．ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然ACAB解如图所示，表示船速，为水流22ADABAC22125=13．512tanCAD利用计算器求得6723CAD即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约6723．巩固知识典型例题例4用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1f2f与的大小．绳子的方向与垂线的夹角为f1f2k1212cos，fffk12cos．kf解利用平行四边形法则，可以得到所以动脑思考探索新知根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？运用知识强化练习2ADOA1；　　．1ABBCCD　　　；2OBBCCA　　．计算：动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即a−b=a＋(−b)．()=OAOBOAOBOABOBOOABA．即OAOBBA．（7．2）观察图可以得到：起点相同的个向量，其起点是减向量b的终点，两个向量a、b，其差a−b仍然是一终点是被减向量a的终点．aAa－bBbO设a，b，则OAOBa巩固知识典型例题例5已知如图所示向量a、b，请画出向量a−b．BbOAba解如图所示，以平面上任一点OOB=b，连接BA，OA=a，为起点，作BA为所求，即则向量BA=a−b．运用知识强化练习2DBAC1；　　．1ABAD　　　；2BCBA　　　．计算：创设情境兴趣导入3OCaaaaOABC3a是一个向量，其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍，即|3a|=3|a|．观察下图可以看出向量与向量a共线，并且OCa动脑思考探索新知一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为||||||aa（7．3）∥．abab（7．4）由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有0||a若0，则当时,a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反．0动脑思考探索新知一般地，有0a=0,λ0=0．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于、，向量数乘运算满足如下的法则：任意向量a,b及任意实数111aaaa　　，　；2aaa　　；3aaa　　；abab４　．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．请画出图形来，分别验证这些法则．巩固知识典型例题AB例6在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，＝a，AOOD．AD＝b，试用a,b表示向量、解AC＝a＋b，BD＝b−a，因为O分别为AC，BD的中点，所以1122AOAC1212（a＋b）＝a＋b，1122ODBD1212（b−a）＝a＋b，1212a＋b和1212a＋b都叫做向量a，b的线性组合，或者说，AOOD、可以用向量a，b线性表示．巩固知识典型例题，一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合（其中均为实数），如果l＝a＋b，则称l可以用a，b线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．运用知识强化练习计算：（1）3(a−2b)−2(2a＋b)；（2）3a−2(3a−4b)＋3(a−b)．（1）−a−8b；（2）5b．当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次记作，．向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a=b．ABaAB向量、向量的模、向量相等是如何定义的？自我反思目标检测学习行为学习效果学习方法自我反思目标检测作业读书部分：阅读教材相关章节实践调查：试着用向量的观点解释书面作业：教材习题７.1Ａ组（必做）生活中的一些问题．教材习题７.1Ｂ组（选做）继续探索活动探究