统计物理学基础

第二篇热学研究物质各种热现象的性质和变化规律热力学统计物理学量子统计物理热力学第一定律热力学第二定律统计方法宏观量是微观量的统计平均玻耳兹曼麦克斯韦4-1平衡态温度理想气体状态方程一、基本概念及研究方法1、基本概念物质由大量分子组成。molN个23100226分子在不停地、无规则地运动，剧烈程度与物体的温度有关。分子间有相互作用力。分子之间存在相互作用力--分子力。0rr为斥力且减小时f急剧增加r0rr为平衡态，f=00rrr为吸引力且增加时f先增再减少注意d可视为分子力程；数量级在10-10--10-8m数量级，可看为分子直径（有效直径）。d分子力是电性力，远大于万有引力。frmr0rd2、研究方法单个分子仍遵守力学规律大量分子进行统计平均。统计平均——大量同性质偶然事件的整体所具有的规律。统计规律特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).(3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽为清楚起见,从正面来观察。(偶然)隔板铁钉统计规律和方法伽尔顿板大量偶然事件整体所遵循的规律——统计规律。再投入小球：经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线统计规律和方法伽尔顿板二、统计的基本概念1、概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。NNAPANlim)(概率的性质:(1)概率取值域为1)(0AP(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.1)(NNAPiAiiii几率归一化条件(3)二互斥事件的概率等于分事件概率之和)()()(BPAPBAP(4)二相容事件的概率等于分事件概率之积)()(),(BPAPBAP2、概率分布函数随机变量在一定条件下,变量以确定的概率取各种不相同的值。①离散型随机变量取值有限、分立表示方式SSPPP21211),2,1(01SiiiPSiP有②连续型随机变量取值无限、连续随机变量X的概率密度dxxdPx)()(变量取值在x—x+dx间隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。1)(dxx又称为概率分布函数（简称分布函数）。)(x3、统计平均值算术平均值为NNNNiiiii统计平均值为iiiNiiiNPNNNN)(limlim随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值乘积的总和。i对于离散型随机变量对于连续型随机变量统计平均值为dxxxx)(“涨落”现象------测量值与统计值之间总有偏离处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。三、平衡态1、热力学系统（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观物体。外界：热力学系统以外的物体。系统分类1（按系统与外界交换特点）：孤立系统：与外界既无能量又无物质交换封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换系统分类2（按系统所处状态）：平衡态系统非平衡态系统2、热平衡态在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。平衡条件:(1)系统与外界在宏观上无能量和物质的交换，(2)系统的宏观性质不随时间改变。箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：粒子数说明：•平衡态是一种理想状态处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。•平衡态是一种热动平衡4、对热力学系统的描述：①宏观量——状态参量平衡态下描述宏观属性的相互独立的物理量。如压强p、体积V、温度T等。②微观量描述系统内个别微观粒子特征的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。微观量与宏观量有一定的内在联系。3、非平衡态不具备两个平衡条件之一的系统。四、理想气体状态方程RTMMpVmol理想气体气体的摩尔质量气体质量molMMKmolJR/31.8普适气体常量当系统处于平衡态时，各个状态参量之间的关系式。定义：po),,(111TVpI),,(222TVpIIV例、氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为333222111MVpMVpMVp使用时的温度为T设可供x天使用原有每天用量剩余xTMVp111TMVp222TMVp333分别对它们列出状态方程，有RTMMVpRTMMVpRTMMVpmolmolmol33322211123131xMMMVV22131231)(VpVppMMMx天6.9400132)10130(例、若理想气体的体积为V，压强为P，温度为T，一个分子的质量为m。则该理想气体的分子数为多少？解：RTNNRTmNmNRTMMPVmol00RTPVNN0五、理想气体的微观假设1、理想气体的分子模型⑴分子可以看作质点⑵除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。⑶分子间的碰撞是完全弹性的。理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。⑷遵从力学规律⑴每个分子速度各不相同，且通过碰撞不停地改变。⑵气体的性质与方向无关，即在各个方向上速率的各种平均值相等。⑶忽略重力作用，按位置分布是均匀的。2、理想气体的分子性质平衡态下：2222310vvvvvvvzyxzyxNvvvvNxxxx21NvvvvNxxxx222212注意：是速度平均值相同4-2理想气体的压强公式①每个分子对器壁的作用tdf②所有分子对器壁的作用——单位时间内的冲量ttdfF③理想气体的压强公式SFp一、理想气体的压强公式1、基本思路2、理想气体的压强公式的推导xyz1l2l3lOdAdAivizviyvixviixiyizvvivjvk平衡态下器壁各处压强相同，选dA面求其所受压强。一定质量的处于平衡态的某种理想气体。,,,iVNmvxy1lOdAdAixmvixmv①i分子动量增量ixixmvp2i分子对器壁的冲量12Imvix②单位时间内对器壁的冲量1112IdAvnIVnIdNIixiidAvmnixi22按速度分布均匀dAvmnIixi22具有速率的分子对器壁的冲力为ivdAvmndFixii2③所有分子对dA面的平均作用力④压强dAvnmdAvmndFdFixiixii2222xixivnvndAvmndAvmndFx2312231vmnP——分子的平均平动动能221vmWWnp323、压强的统计意义压强是大量分子在单位时间内对器壁单位面积上的平均冲力，是大量分子的集体行为的统计平均量，单个分子无压强。TNRnRTNNVpAA1二、温度的统计解释RTMMpVmol1231038.1KJNRkAnkTpWnp32kTvmW23212温度是气体分子平均平动动能大小的量度1、平均平动动能与温度的关系玻尔兹曼常量T是大量分子热运动剧烈程度的度量，平均平动动能是T的单值函数。例、（1）在一个装有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：222111)1(TVpTVpKTKTVV450177273,30027273,2:2121由已知12211221233004502pVVpTVTVp2112ppppkTW23)2(JTTk)300450(1038.123)(232、温度的统计意义⑴温度的实质：物质内部分子作热运动剧烈程度的度量。对于单个分子只有，绝无TW⑵是温度T的单值函数，只在平衡态下成立。W2v大量分子速率的平方平均值的平方根molMRTmkTv332kTvmW23212气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。Tv2molMv/12三、气体分子的方均根速率2v1、自由度i确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例四、能量均分定理He2OOH23NHxzy),,(zyxC双原子分子xzy),,(zyxC单原子分子平动自由度t=33rti平动自由度t=3转动自由度r=25rtixzy),,(zyxC三原子分子平动自由度t=3转动自由度r=36rti2、能量均分定理kTvmW23212222231vvvvzyxkTvmvmvmzyx21212121222气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。kT23注意：统计结果，通过碰撞实现，平衡态下成立。平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是kT21能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有t个平动自由度,r个转动自由度,s个振动自由度.则分子具有：平均平动动能kTt2平均转动动能kTr2平均振动动能kTs2注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份振动的动能外，还有一份平均势能。结论：分子的平均总能量skTkTsrt21)(21kTsrt)2(21对刚性分子：气体分子无振动，则分子的平均动能为kTikTrt2)(21单原子：kT23kT26多原子：kT25双原子：对气、液、固体均成立五、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为RTikTiNEAmol2)2(一定质量理想气体的内能为RTiMMEmol2温度改变，内能改变量为TRiMMEmol2例、就质量而言，空气是由76％的N2，23％的O2和1％的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。解：在空气中N2质量kgM331101.22%76109.28摩尔数789.0281.22111molMMnO2质量kg.%.M332106562310928摩尔数208032656222..MMnmolAr质量kg.%.M333102890110928摩尔数0070402890333..MMnmol1mol空气在标准状态下的内能RT)ninini(RTniRTniRTniE33221133221121222J31068.527331.8)007.03208.05789.05(21平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来，尔后被实验证实。4-3麦克斯韦分子速率分布率一、分子速率分布的实验测定测定分子速率分布的实验装置ABSPPG分子源真空室狭缝圆筒子射到上面的各种速率分可沉积弯曲玻璃板,G圆筒不转，分子束的分子