数项级数的敛散性判别法

二、交错级数与任意项级数的敛散性第二节一、正项级数敛散性判别法数项级数敛散性判别法机动目录上页下页返回结束第五章一、正项级数及其判别法若,0nu1nnu定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”机动目录上页下页返回结束都有定理2(比较判别法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动目录上页下页返回结束(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动目录上页下页返回结束例1.讨论p级数pppn131211(常数p0)的敛散性.解:1)若,1p因为对一切而调和级数11nn由比较判别法可知p级数n1发散.发散,机动目录上页下页返回结束,1p因为当,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较判别法知p级数收敛.时,1)1(11pn11111)1(113121211pppppnn12)若机动目录上页下页返回结束调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn机动目录上页下页返回结束证明级数发散.证:因为2)1(1)1(1nnn而级数21kk发散根据比较判别法可知,所给级数发散.例2.机动目录上页下页返回结束定理3.(比较判别法的极限形式),limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0l∞时,机动目录上页下页返回结束nnnvluvl)()(由定理2可知1nnv同时收敛或同时发散;)(Nn(3)当l=∞时,即nnvu由定理2可知,若1nnv发散,(1)当0l∞时,(2)当l=0时,由定理2知1nnv收敛,若机动目录上页下页返回结束是两个正项级数,(1)当时,l0两个级数同时收敛或发散;特别取,1pnnv可得如下结论:对正项级数,nu,1pl0lunnlimpnl0发散nu(2)当且收敛时,0lnv(3)当且发散时,lnv也收敛;也发散.收敛nu机动目录上页下页返回结束的敛散性.～nnn1lim例3.判别级数11sinnn的敛散性.解:nlimsin1nn11根据比较判别法的极限形式知.1sin1发散nn例4.判别级数1211lnnn解:nlim221limnnn1根据比较判别法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n～21n2n211lnn机动目录上页下页返回结束定理4.比值判别法设为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1证:(1),1时当11nnuu收敛,.收敛nu时,级数收敛;或时,级数发散.,ZN知存在,时当Nn由比较判别法可知机动目录上页下页返回结束,1时或,0,NuZN必存在,0limNnnuu因此所以级数发散.Nn当时(2)当nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数nnnuu1limppnnn1)1(1lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.从而机动目录上页下页返回结束limn例5.讨论级数的敛散性.解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx根据定理4可知:,10时当x级数收敛;,1时当x级数发散;,1时当x机动目录上页下页返回结束思考：设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示:nnnuu2limnnulim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.机动目录上页下页返回结束对任意给定的正数,limnnnu定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设为正项级,limnnnu则证明提示:,ZN存在nnu即nnnu)()(分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.1111数,且机动目录上页下页返回结束时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数pnnnnu1)(1n说明:但,1p级数收敛;,1p级数发散.机动目录上页下页返回结束例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:nnnnnu1由定理5可知该级数收敛.令,nnSSr则所求误差为21)2(1)1(10nnnnnr1)1(1nnnnn)1(11111n并估计以部分和Sn近机动目录上页下页返回结束二、交错级数与任意项级数的敛散性则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛,且其和,1uS其余项满足.1nnur,,2,1,0nun设机动目录上页下页返回结束证:)()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS是单调递增有界数列,又)(limlim12212nnnnnuSS故级数收敛于S,且,1uSnu2)(21nnuu21nnnuur1nu故机动目录上页下页返回结束收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛!)1(1n!1n11nnnuu11011nnnn10nn1101机动目录上页下页返回结束三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级111)1(nnn1110)1(nnnn收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动目录上页下页返回结束定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设nv),2,1(n根据比较判别法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu且nv,nu收敛,令机动目录上页下页返回结束例7.证明下列级数绝对收敛:.)1()2(;sin)1(1214nnnnennn证:(1),1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.机动目录上页下页返回结束(2)令nnnuu1limlimn12)1(nennen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛.机动目录上页下页返回结束例8讨论级数的敛散性.解：1x时,时，级数收敛。时，原级数即为几何级数显然收敛。综上所述，原级数收敛。内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数判别法必要条件0limnnu不满足发散满足比值判别法limn1nunu根值判别法nnnulim1收敛发散1不定比较判别法用它法判别积分判别法部分和极限1机动目录上页下页返回结束3.任意项级数判别法为收敛级数Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1)1(收敛概念:绝对收敛条件收敛机动目录上页下页返回结束思考题1.判别级数的敛散性:解:(1)11nn发散,故原级数发散.不是p–级数(2)11nn发散,故原级数发散.机动目录上页下页返回结束2.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:∴(B)错;又C机动目录上页下页返回结束