1.3 曲线的极坐标方程

1.3曲线的极坐标方程在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系.XO1.极坐标系,极坐标与直角坐标互化公式复习回顾：极坐标系内一点的极坐标的规定XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ)0(tan,222xxyyx1.直角坐标化极坐标：2.极坐标化直角坐标：2.在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程表示,曲线与方程F(x,y)=0满足如下关系：（1）曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；（2）以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.F(,)0那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程表示呢？复习回顾：一、曲线的极坐标方程的定义：如果曲线Ｃ上的点与方程F(,)=0有如下关系(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程F(,)=0；(２)方程F(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则曲线Ｃ的方程是F(,)=0.曲线的极坐标方程一般地，当曲线的几何特征是用距离及角度表示时，选择曲线的极坐标方程表示曲线往往更方便，得到的方程也更简单.但要注意，由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处.一条曲线上点的极坐标有多组表现形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程.有些表示形式可能不满足方程.=,44+22444MM例如，对极坐标方程，点（）满足方程，但也可以表示为（，）或（，）等4多种形式，后者都不满足方程.二、曲线的极坐标方程的表示：1,)0.F、一般情况下：（2()..、也可以是：即为的一个函数三、曲线的极坐标方程的简单的对称性质：1=23=+O、若()=(-),则图形关于极轴对称；2、若()=(-),则图形关于射线所在的直线对称；、若（）（），则图形关于几点对称.四、练习：11例、极坐标方程表示什么曲线？2=例、极坐标方程表示什么曲线？4解：设M(ρ，θ)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合P＝{M|∠xOM＝π4}．将已知条件用极坐标表示，得θ＝π4(ρ≥0)．这就是所求的射线的极坐标方程．例3判断点－12，5π3是否在曲线ρ＝cosθ2上？解：∵点－12，5π3和点12，2π3是同一点，cos2π32＝cosπ3＝12，∴点12，2π3在曲线ρ＝cosθ2上，即点－12，5π3在曲线ρ＝cosθ2上．4.22例、在极坐标系中，作出方程=2cos的图形（-）..解：描点作图适当选取的某些值，按方程计算相应的值列表：023466432012323210作出相应各点，光滑地连成曲线.是以OD为直径的圆.OxABCDEFG5..OldOlOAl例、设极点到直线的距离为由点向直线作垂线，由极轴到垂线的角度为（如图所示）.求直线的极坐标方程(,)MdOxlA解：在直线l上任取一点M(,)在直角三角形OMA中，可得cos(),.cos()dd即这就是直线l的极坐标方程.注意：1、直线的极坐标方程形式比普通方程复杂，因此只在特殊情况下才用.注意：2、在此例中，当ɑ=0时，l垂直于极轴，此时直线L的极坐标方程变为cosd2l时，直线ox﹚AM3、当平行于极轴sin＝dMox﹚A极坐标方程变为4、若d=0，则直线过极点﹚lo)(0R极坐标方程变为练习1求过A2，π4平行于极轴的直线方程．解：如图所示，在直线l上任意取点M(ρ，θ)．∵A2，π4，∴|MH|＝2·sinπ4＝2，在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sinθ，即ρsinθ＝2，所以，过A2，π4平行于极轴的直线方程为ρsinθ＝2.练习2将下列直角坐标方程与极坐标方程互化．(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝π3；解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ，化简得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)tanθ＝yx，∴tanπ3＝yx＝3，化简得y＝3x(x≥0)．(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)tanθ＝yx，∴tanπ3＝yx＝3，化简得y＝3x(x≥0)．小结1、曲线的极坐标方程的概念；2、表示方法；3、性质；4、描点画图；5、求简单曲线的极坐标方程.作业：教材P34习题1-3再见