2012年高考数学二轮专题复习课件：圆锥曲线

第11讲圆锥曲线定义、方程与性质第11讲│主干知识整合1．圆锥曲线的统一性(1)从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲线．(2)从点的集合(或轨迹)的观点看，它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合(或轨迹)，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线．(3)这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的截线，因而才称之为圆锥曲线．(4)圆锥曲线第二定义把“曲线上的点M”、“焦点F”、“相应准线l”和“离心率e”四者巧妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义．2．焦半径圆锥曲线上一点与其焦点的连线段称为这一点的焦半径，下面是用的较多的焦半径公式：(1)对于椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)而言，|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.(2)对于双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)而言，若点P在右半支上，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a；若点P在左半支上，则|PF1|＝－(ex0＋a)，|PF2|＝－(ex0－a)．(3)对于抛物线y2＝2px(p0)而言，|PF|＝x0＋p2.以上各式中，P(x0，y0)是曲线上的一点，F1、F2分别是椭圆、双曲线的左、右焦点，F是抛物线的焦点，在这里特别强调的是，由于曲线方程的不同，焦半径公式也各不相同．3．几个常用结论(1)椭圆的焦点三角形：椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2组成的三角形称为椭圆的焦点三角形，解决与椭圆焦点三角形有关的问题时，应注意椭圆的定义、正弦和余弦定理的运用．(2)关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线y2＝2px(p0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，则①x1x2＝p24，y1y2＝－p2；②|AB|＝2psin2θ；③以AB为直径的圆与准线相切；④焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°；⑤1|FA|＋1|FB|＝2p.第11讲│要点热点探究例1已知两点F1(－2,0)，F2(2,0)，曲线C上的动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2|F1F2|，直线MF2与曲线C交于另一点P.(1)求曲线C的方程及离心率；(2)设N(－4,0)，若S△MNF2∶S△PNF2＝3∶2，求直线MN的方程．►探究点一椭圆的标准方程与几何性质【解答】(1)因为|F1F2|＝4，|MF1|＋|MF2|＝2|F1F2|＝84，所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆．曲线C的方程为x216＋y212＝1，离心率为12.(2)显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．设M(xM，yM)，P(xP，yP)，直线MN的方程为y＝k(x＋4)，其中k≠0.由x216＋y212＝1y＝kx＋4，得(3＋4k2)y2－24ky＝0.解得y＝0或y＝24k4k2＋3.依题意yM＝24k4k2＋3，xM＝1kyM－4＝－16k2＋124k2＋3.因为S△MNF2∶S△PNF2＝3∶2，所以|MF2||F2P|＝32，则MF→2＝32F2P→.于是2－xM＝32xP－2，0－yM＝32yP－0，所以xP＝232－xM＋2＝24k2＋24k2＋3，yP＝－23yM＝－16k4k2＋3.因为点P在椭圆上，所以324k2＋24k2＋32＋4－16k4k2＋32＝48.整理得48k4＋8k2－21＝0，解得k2＝712或k2＝－34(舍去)，从而k＝±216.所以直线MN的方程为y＝±216(x＋4)．【点评】解决椭圆，双曲线，抛物线的问题，要牢牢抓住其定义和性质，一些看起来很复杂，没有头绪的问题，如果从定义上来考虑，往往会迎刃而解．一定不可脱离基本概念，过分去追求技巧方法．本题的第二问需要把面积问题转化为方程问题，用方程思想解决，对运算化简能力要求较高．已知线段CD＝23，CD的中点为O，动点A满足AC＋AD＝2a(a为正常数)．(1)求动点A所在的曲线方程；(2)若存在点A，使AC⊥AD，试求a的取值范围；(3)若a＝2，动点B满足BC＋BD＝4，且AO⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．【解答】(1)以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系．若AC＋AD＝2a23，即0a3，动点A所在的曲线不存在；若AC＋AD＝2a＝23，即a＝3，动点A所在的曲线方程为y＝0(－3≤x≤3)；若AC＋AD＝2a23，即a3，动点A所在的曲线方程为x2a2＋y2a2－3＝1.(2)由(1)知a3，要存在点A，使AC⊥AD，则以O为圆心，OC＝3为半径的圆与椭圆有公共点．故3≥a2－3，所以a2≤6，所以a的取值范围是3a≤6.(3)当a＝2时，其曲线方程为椭圆x24＋y2＝1.由条件知A，B两点均在椭圆x24＋y2＝1上，且AO⊥OB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，OA的斜率为k(k≠0)，则OA的方程为y＝kx，OB的方程为y＝－1kx.解方程组y＝kx，x24＋y2＝1，得x21＝41＋4k2，y21＝4k1＋4k2.同理可求得x22＝4k2k2＋4，y22＝41＋4k2.△AOB的面积S＝121＋k2|x1|1＋1k2|x2|＝21＋k221＋4k2k2＋4.令1＋k2＝t(t1)，则S＝2t24t2＋9t－9＝21－9t2＋9t＋4.令g(t)＝－9t2＋9t＋4＝－91t－122＋254(t1)，所以4g(t)≤254，即45≤S1.当k＝0时，可求得S＝1，故45≤S≤1，故S的最小值为45，最大值为1.例2如图5－11－1所示，已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b0)的一个焦点，A(－a,0)，B(0，b)，双曲线的离心率为2，点C在x轴上，BC→·BF→＝0，B，C，F三点所确定的圆M恰好与直线l：x＋3y＋3＝0相切，求双曲线的方程．图5－11－1►探究点二双曲线的标准方程与几何性质【解答】依题意，设双曲线的半焦距为c，由离心率e＝2＝ca，得c＝2a，b＝3a，B(0，3a)，F(－2a,0)．设C(x,0)，故BC→＝(x，－3a)，BF→＝(－2a，－3a)，由BC→·BF→＝0，得x＝3a2，所以C3a2，0.易知FC是B，C，F三点所确定的圆M的直径，圆心M－a4，0，直径为3a2－(－2a)＝7a2.又圆M恰好与直线l：x＋3y＋3＝0相切，则－a4＋312＋32＝7a4，即－a4＋3＝7a2，得a＝45.∴双曲线的方程为x21625－y24825＝1，即25x216－25y248＝1.【点评】江苏高考对双曲线要求不高，本题以双曲线为载体，实质是对直线与圆的知识的考查．例3设抛物线y2＝4ax(a0)的焦点为A，以点B(a＋4,0)为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同的两点M、N，点P是MN的中点．(1)求|AM|＋|AN|的值；(2)是否存在实数a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？若存在，求出a；若不存在，说明理由．►探究点三抛物线的标准方程与几何性质【解答】设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，由抛物线定义得：|AM|＋|AN|＝|MM′|＋|NN′|＝xM＋xN＋2a，又圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入得x2－2(4－a)·x＋a2＋8a＝0，∴xM＋xN＝2(4－a)，所以|AM|＋|AN|＝8.(2)假设存在这样的a，使得：2|AP|＝|AM|＋|AN|，∵|AM|＋|AN|＝|MM′|＋|NN′|＝2|PP′|，∴|AP|＝|PP′|.由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，所以这样的a不存在．【点评】本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力．圆锥曲线的有关问题常常与平面几何知识相结合，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目．第11讲│规律技巧提炼1．当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0且m≠n)，这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式mx2＋ny2＝1(mn≠0)来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m0，n0且m≠n；若方程表示双曲线，则要求mn0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论．2．双曲线是具有渐近线的曲线，复习中要注意以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1中的常数“1”换成“0”，即得x2a2－y2b2＝0，然后分解因式即可得到其渐近线方程xa±yb＝0；若求中心不在原点，对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x，y分别配方，然后将常数“1”换成“0”，再分解因式，则可得渐近线方程，例如双曲线(x＋2)2－y232＝1的渐近线方程为(x＋2)2－y232＝0，即y＝±3(x＋2)，因此，如果双曲线的方程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了．(2)求已知渐近线的双曲线方程：已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法，如果已知双曲线的渐近线，双曲线方程却不是唯一确定的．3．在建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．第11讲│高考真题剖析[2010·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________．【答案】4【解析】MFd＝e＝42＝2，d为点M到右准线x＝1的距离，d＝2，∴MF＝4.【点评】本题是考查双曲线的定义，只要审题清楚，准确计算不难解决．对于双曲线与抛物线，江苏高考只是A级要求，平时复习要关注对课本习题的变式训练，不要随意加大试题的难度．