如何绘制伯德图

1一、典型环节频率特性的伯德图伯德（Bode）图又叫对数频率特性曲线，它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性。两个坐标平面横轴（ω轴）用对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，它表示幅值的分贝数，即；对数相频特性的纵轴也是线性分度，它表示相角的度数，即。通常将这两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小。)()(lg20)(dBjGL（度）)()(jG202040-40-20)(L0.010.1110100045o90o-90o-45o)(0.010.1110100dB3（4）横轴（ω轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。用伯德图分析系统有如下优点：（1）将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；)(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)()()()()()()()()(212121jGjGjGjGLjGjGjGjGjGjGjGjGnnn（2）幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相加运算，可简化计算；（3）用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；4（一）放大环节（比例环节）放大环节的频率特性为（5-59）其幅频特性是（5-60）对数幅频特性为（5-61）为大于零的常数）KKjG()(KjG)(KjGlg20)(lg20当K1时，20lgK0，位于横轴上方；当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；当K1时，20lgK0，位于横轴下方。5放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。当有n个放大环节串联时，即（5-62）幅值的总分贝数为（5-63）01011020Klog20dB)(L1010010001001000000100900180度）（10图5-11放大环节的Bode图nKKKjG21)(nKKKjGlg20lg20lg20)(lg2021放大环节的相频特性是（5-64）如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。00)(jG6其幅频特性为（5-66）对数幅频特性是（5-67）90111)(jejjjG1)(jGlg201lg20)(lg20jG当时，；当时，；当时，。1.0)(201.0lg20)1.0(lg20dBjG1)(01lg20)1(lg20dBjG10)(2010lg20)10(lg20dBjG（二）积分环节积分环节的频率特性是（5-65）设，则有可见，其对数幅频特性是一条在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（ω轴），且以每增加十倍频降低20分贝的速度（-20dB/dec）变化的直线。积分环节的相频特性是10'lg202010lg20lg20'090)(jG是一条与ω无关，值为-900且平行于ω轴的直线。积分环节的对数幅频特性和相频特性如图5-12所示。(5-68)(5-69)604002020dB)(L01.01.01decdB/2001.01.0110000900900180度）（图5-12积分环节的Bode图10当有n个积分环节串联时，即（5-70）其对数幅频特性为是一条斜率为-n×20dB/dec，且在ω=1（弧度/秒）处过零分贝线（ω轴）的直线。相频特性是一条与ω无关，值为-n×900且与ω轴平行的直线。两个积分环节串联的Bode图如图5-13所示。njjG)(1)(lg201lg20)(lg20njGn090)(njG（5-72）图5-13两个积分环节串联的Bode图090001.010180090度）（01.0040decdB/40dB)(L01.01.0110(5-71)当时，，当时，，用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，即在的低频段时，，与零分贝线重合；在的高频段时，，是一条斜率为-20（dB/dec.）的直线。22221lg2011lg20)(lg20TTjGT1T1)(01lg20)(lg2022dBTjG)(lg201lg20)(lg2022dBTTjGT100)(lg20jGT1TjGlg20)(lg20T1T1两条直线在处相交，称为转折频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。（三）惯性环节惯性环节的频率特性是(5-73)其对数幅频特性是11)(jTjG(5-74)10渐近特性decdB/20精确特性图5-14惯性环节的Bode图)()(Ldb1001020T1201T1101T151T1T12T110T12000045090当时，；当时，；当时，。对应的相频特性曲线如图5-14所示。它是一条由00至-900范围内变化的反正切函数曲线，且以和的交点为斜对称，渐近线为一条斜率为－45o/十倍频程，起始点为0.1/T、终止点为10/T的直线。TarctgjG)(000)0(jGT1045)1(TjG090)(jGT1045)(jG(5-75)惯性环节的相频特性为45/odec11时的误差是T121)(97.025lg201lg2012122dBTTT12)(97.02lg205lg20)lg20(1lg20121222dBTTTT很明显，距离转折频率1/T愈远，愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大。ω等于转折频率1/T时，误差最大，最大误差为)11(TT或)(32lg201lg20122dBTT时的误差是12其对数幅频特性是（5-77）当时，；当时，；一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐近线的转折频率为，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为，其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。相频特性是当时，；1)(jjG1lg20)(lg2022jG1)(01lg2022dB1)(lg201lg2022dB1arctgjG)(000)0(jG（四）一阶微分环节一阶微分环节频率特性为dB32lg20（5-78）13当时，；当时，。一阶微分环节的相频特性如图5-16所示，相角变化范是00至900，转折频率处的相角为450。比较图5-16和5-14，可知，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和相频特性是以横轴（ω轴）为对称的。1090)(jG045)1(jGT120100db)(L1100111011110110011001101110111001)(度09004500图5-16一阶微分环节的Bode图decdB/20渐近特性精确特性45/odec14振荡环节的频率特性是（5-79）其对数幅频特性为（5-80）当时，；当时，。渐近线的第一段折线与零分贝线（ω轴）重合，对应的频率范围是0至；第二段折线的起点在处，是一条斜率为-40（dB/dec）的直线，对应的频率范围是至∞。两段折线构成振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为。对数幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。TjTjG2)1(1)(222222224)1(lg20)(lg20TTjGT1)(04)1(lg20222222dBTTT1)(lg404)1(lg20222222dBTTTT1T1T1（五）振荡环节T1150decdB/404020dB)(L高频渐近线T1101T1T110低频渐近线图5-17振荡环节渐进线对数幅频特性•振荡环节的相频特性是•（5-83）2212)(TTarctgjG16当时，；当时，；当时，。除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是阻尼比ξ的函数，随阻尼比ξ变化，相频特性在转折频率附近的变化速率也发生变化，阻尼比ξ越小，变化速率越大，反之愈小。但这种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比ξ的相频特性如图5-20所示。000)0(jGT1090)1(TjG0180)(jGT1000900180n101Tn1n1005.00.1图5-20振荡环节对数相频特性图17（5-84）其对数幅频特性是（5-85）相频特性是2)1()(22jjG2222224)1(lg20)(lg20jG2212)(arctgjG1（六）二阶微分环节二阶微分环节的频率特性是二阶微分环节与振荡节的Bode图关于ω轴对称，如图5-21。渐近线的转折频率为，相角变化范围是00至+1800。402001101dB0180090001110精确特性渐近特性decdB/40)(图5-21二阶微分环节的Bode图（5-86）181.将系统函数分解成典型环节乘积（即串联）的形式；2.将各部分化为典型环节的标准形式；3.如果存在转折频率，在ω轴上标出转折频率的坐标位置；4.由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线；5.画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。二、绘制系统频率特性伯德图的步骤19例5-1已知系统函数为试画出伯德图。解：它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为1111)()(21jTjTKjHjG1111)()(222221TTKjHjG22121211)()()(TTTTarctgarctgTarctgTjHjG)(1111)()(2121TTsTsTKsHsG20（a）对数幅频特性由系统函数知，对数幅频特性的渐近线有两个转折频率和，，将它们在ω轴上标出；在纵坐标上找到20lgK的点A，过A点作平行于横轴的直线AB，这条平行线对应放大环节的幅频特性；在转折频率处作ω轴的垂线（虚线）交平行线AB于B点，以B为起点作斜率为（-20dB/dec）的斜线BC，C点对应转折频率，折线ABC对应放大环节K和惯性环节2111TT图5-25开环系统Bode图dBA0Klog20BdecdB/20C渐近特性D)(L11T精确特性21TdecdB/40度0450)4()2()1()3(11T21T11Ts11T21T的叠加；21以C为起点，作斜率为-40dB/dec的斜线CD，折线ABCD即为系统开环对数幅频特性的渐近线。（b）对数相频特性在图5-25上分别画出三个环节的相频特性曲线，（1）为放大环节，（2）为惯性环节1和（3）为惯性环节2，然后将它们在纵轴方向上相加得到系统开环相频特性曲线（4）。例5-2试绘制传递函数为（5-93）（5-94）的对数幅频特性。sKsGV)(122)(sKsGa22解：有n个积分环节串联，对数幅频特性应是一条过横轴上ω=1且斜率为-n×20dB/dec的直线。式(5-93）和（5-94）中分别含有一个和两个积分环节（串联），当不考虑KV和Ka的影响时，它们的对数幅频特性应是过ω=1且斜率分别为-0dB/dec和-40dB/dec的直线，如图5-26和图5-27中虚线所示。考虑到KV和Ka的作用，上述两条直线应分别在纵轴方向上平移2