第四章 态和力学量的表象3

§4.5Dirac符号在本章第一节时，我们把量子力学中的状态和几何学中的矢量作类比，把状态称为态矢量。在几何学中，矢量可以写成为列矩阵的形式xyzAAiAjAkxyzAAA列矩阵记法,,ijk是X、Y、Z三个轴方向的单位矢量，被称为基本矢量，简称基矢,,xyzAAA是矢量A在三个轴方向上的分量如果坐标系发生变化，则坐标轴变为,基本矢量也相应的变为。矢量的三个分量的值肯定也都要发生变化A,,ijk,,XYZxyzxyzAAiAjAkAiAjAkxxxAAAxyzAAA同一个矢量在不同的坐标系下有不同的表示方法同样的在量子力学中同一个状态（或者说：态矢量）在不同的表象下有不同的表示方法。12nqatatatat12nqatatatat,rt,cptQ1表象Q2表象坐标表象动量表象虽然以上这些表示方法在数学上完全不同，但它们表示的是同一个状态。上一节我们已经学习了它们之间如何相互装换。在这一节我们将使用统一的抽象符号表示状态（态矢量），即所谓的狄拉克符号。使用狄拉克符号表示状态，我们就不用考虑在具体表象下状态该写成什么形式。这就如同前面我们使用矢量符号表示矢量一样。A一、量子力学状态的狄拉克表示方法某个量子力学状态A右矢（刃矢）A左矢（刁矢）A在某个具体的Q表象下，这个矢量的各个分量就是前面所提及的展开系数12,,,,nqatatatat在某个具体的Q表象下，这个矢量的各个分量就是右矢各个分量的复共轭。12,,,,,nqatatatat这些分量被排列成一个列矩阵的形式12nqatatatat这些分量被排列成行矩阵的形式12,,,,,nqatatatat换句话说，右矢在具体表象下的表示是列矩阵，而左矢在具体表象下的表示是这个列矩阵的共轭矩阵这个运算叫做标积（内积）注意：左、右矢不能相加减但左矢、右矢之间可以进行如下的乘积运算BABABA如果写到某个具体的Q表象中标积就等于：1212,,,,,nqnqatatBAbtbtbtbtatat1122nnqqnqqnababababdqababdq12,,,,nqatatatat是右矢在Q表象下的各个分量A12,,,,,nqbtbtbtbt是左矢在Q表象下的各个分量B显然BAAB1212,,,,,nqnqbtbtABatatatatbtbt1122nnqqnnqqnbabababadqbabadq在其他表象下，标积的定义完全类似，即左、右矢的对应各个分量之间相乘再相加。而且在不同表象下，标积的值都是相等的，换句话说，标积是一个与具体表象无关的数。BABA,,BABAxtxtdx1212,,,,,nqnqatatbtbtbtbtatat,Axt是右矢在坐标表象下的分量，其实就是状态A在坐标表象下的波函数是左矢在坐标表象下的分量，其实就是状态B在坐标表象下的波函数的复共轭。AB,Bxt,,BxAxxCptCptdp坐标表象,AxCpt是右矢在动量表象下的分量，其实就是状态A在动量表象下的波函数是左矢在动量表象下的分量，其实就是状态B在动量表象下的波函数的复共轭。AB,BxCpt动量表象其他任意某个Q表象下关于这些等式的证明可以使用第二和第三章的知识，不再详述知道了标积的概念，我们就可以很容易的把本章第一节学过的波函数归一化式统一记为狄拉克符号形式。12†****12,,,,nqnqatatatatatatatat**()()()()1nnqqnatatatatdq这是在Q表象下状态的归一化式对比上面的标积式，我们可以用如下形式表示1这个形式抽象的表示了状态的归一化，不再涉及到具体某个表象下面我们看某些特殊状态的狄拉克符号形式设某状态是力学量算符的本征态，所属的本征值是Fi（我们只考虑非简并的情况，对应同一个本征值，只有一个状态）则这个状态可以分别用左矢和右矢写为ˆFiFiF因此反映了本征态的正交归一条件ijijFF假如的本征值构成连续谱则正交归一条件应写为FF,分别为所属的本征值显然分别对应本征值的左矢和右矢的标积,ijFFijFF,,ijxtxtdxij（分立谱）动量本征态（本征矢）正交归一条件pppp坐标本征态（本征矢）正交归一条件xxxx例如,nlmrt我们前面学过的氢原子的能量本征态可以记为,,nlm,,inlm正交归一条件为,,,,nnllmmnlmnlm其他例子以此类推前面已经学过力学量算符的所有正交归一的本征函数构成了一个完备系，任意波函数都可以用这个完备系展开。如果使用狄拉克符号，我们则说表示这些本征函数的右矢（左矢）构成一个完备系，任意的右矢（左矢）都可以被这组完备系展开：ˆFnFnFnnnatFaFdnnnatFatF这就是狄拉克符号形式下状态的展开式，大家可以看到该式不依赖于任何表象。nF这些本征右矢（本征左矢）被称为基右矢（基左矢）nF()mnmnnQatQQ两边左乘得:mQ()nmnnat本征矢的封闭性（分立谱情况）nnnatQ某任意的态右矢被算符的本征右矢展开ˆQnQnnnQQnnnQQnnnQQ综合（1）（2）并且是任意态矢量，所以1nnnQQ这叫做本征矢的封闭性。任意算符的本征矢都满足这个性质。左右矢之间的这种乘积叫做外积。与前面所说的内积（标积）不同，它不是一个数，而是一个算符，在具体的表象中，它表现为一个矩阵。矩阵的具体形式随表象的不同而发生变化AB可知()mmatQ代入到展开式内得()mmatQ由两边取共轭得()mmatQ代入到左矢展开式nnnatQnnnQQnnnQQnnnQQ（1）（2）()qatqdq()qqatqqdq()()qatqqdq()qatqdqq任意态矢量被算符的本征右矢展开式为：连续谱情况：q两边左乘q展开系数()qatqqqdqqdqq与积分变量无关，所以被提到积分号外把展开系数代入到上面的展开式展开系数的共轭()qatq展开系数的共轭代入到左矢展开式()qatqdqqqdqqdqq（1）（2）1qdqq综合（1）（2）并且是任意态矢，所以有这就是本征值构成连续谱时本征矢的封闭性例如坐标本征矢和动量本征矢的封闭性11xdxxpdxp111|11nnnnnnQQqdqqxdxxpdppQQqdqq它们也称为单位算符，在运算中可插入（或乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。()mmatQ()qatq此外我们还知道展开系数（也就是状态在Q表象中的分量）实际上是一个标积1122nnqatQatQatQatq即前面我们已经知道坐标表象下的波函数其实就是状态在坐标表象中列矩阵表示的分量，因此,xt,xtx同样动量表象下的波函数就是标积,cptp在抽象的Dirac符号形式可记为ˆFˆmmQQFˆmnnnQFQQ二、算符的狄拉克符号表示在适当位置插入单位算符1nnnQQˆˆ(,)(,)(,)xtFxpxt坐标表象下ˆmnnnQFQQˆmmnnnQQFQQˆmmnnnbtQFQat在Q表象下的第m个分量如果要用任意某个Q表象表达上式。左乘mQ在Q表象下的第n个分量ˆmmnnnbtQFQat该式可以写成矩阵的形式111211122212221ˆˆˆˆˆˆˆˆnnnnnnnQFQQFQQFQQQQQQFQQFQQFQQQQFQQFQ由此可知，力学量算符的矩阵元的狄拉克表示是一个标积ˆmnmnQFQFˆFˆmnQFQ在该式中插入两个单位算符下面我们看看这个标积到底等于什么1xdxx1xdxxˆmnQxdxxFxdxxQˆmnQFQˆmnQxdxxFxdxxQˆxFx在坐标表象下的矩阵元ˆˆ,()xFxFxixxxˆˆ,()mnmnQFQQxdxFxixxdxxQxˆ,mnQxFxidxxQx这其实就是第二节的矩阵元公式的狄拉克符号形式*ˆ,mnmnFuxFxiuxdxxˆ||FFˆmmnnmnFQQFQQ*mmnnmnaFa平均值公式的狄拉克形式11mmnnmnQQQQ插入单位算符111211212222***1212()()(),(),,()()nnmmmmnnFFFatFFFatatatatFFFat†ˆmFQ||1nnnQQ†ˆnnmnQQFQ†nnmnFQ*nmnnFQ**mnnnFQ*mnnnFQ*ˆmQFˆF已知使用右矢代表状态的话有等式mQmQ插入单位算符*ˆmnnnQFQQ由此可得†ˆmmQFQ†ˆFF是厄密算符†ˆˆFFˆF例：力学量算符x在动量表象中的形式|ˆ|x左乘p|ˆ|||ppxˆ|||pxpdpppxxdxxxdxxppxp||ˆ|||ˆ||||pxdxxxxdxxp|()|pxdxxxxdxxp||pxxdxxp12iipxpxexedx12iipxpxieedxp12iipxpxieedxp()ippp代回原式||ˆ||ˆ||ppdpxpxpp故坐标算符x在动量表象中取如下形式:pixˆ()||ippdppippp（1）坐标表象描述与Dirac符号1)(|)(|1),(),()()(ˆ),(ˆ)(|),(**ttQQdxtxtxdxxuxuFirFttxmnnmmnnm本征函数归一化算符波函数Dirac符号项目X表象1||1||)()()()()()()(|)