数列的概念

一、数列的概念二、数列的极限三、收敛数列的性质第一节数列的极限一、数列的概念称为数列.通常称为数列的第一项，为第二项，一般地，将第n项称为通项或一般项.数列可用通项简记为.定义按一定顺序排列起来的无穷多个数，，，nxxx211x2x}{nxnx，}{nx,2,1)(nnfxn，数列可以理解为正整数n的函数,因此，又称数列为整标函数，其定义域是正整数集..,,,3,2,1}{}{nnxn，即正整数构成的数列数列例1.,1,,31,211,}1{}{nnxn，即数列例2.,)1(,,1,1,1})1{(}{11nnnx，即数列例3.,,,,,)}({}{aaaaaaxn，即是常数数列例4.,5,3,2,11,,211}{2121，此数列即为时，当，中，已知数列nnnnxxxnxxx例5单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.Mxn,}{121成立，若有对于数列nnnxxxxx是则称数列}{nx单调增加的；是则称数列}{nx单调减少的.121nnxxxx若有对于数列，若存在正数M，使得对于一切的n都有}{nx成立，则称数列是有界的，否则称是无界的}{nx}{nx例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列是单调减少的.对于数列，若存在正数M，使得对于一切的n都有}{nxMxn成立，则称数列是有界的，否则称是无界的.}{nx}{nx容易验证例2，例3和例4中的数列是有界的；而例1和例5中的数列是无界的.,,,21nxxx在几何上，通常用数轴上的点列来表示数列.}{nx这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列是自左向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间[－M，M]之内，表示无界数列的点列，无论区间[－M，M]多么长，总有落在该区间之外的点.,,,21nxxx二、数列的极限我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限思想的体现.数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.的图形，})1{(}{1nxnn例如对于来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势.nxnn1)1(.})1(1{的图形例如nxnn当n“充分大”时，“无限接近于1”;nxnn)1(1.}21{}{的图形例如nnx当n“充分大时”，“无限接近于0”.nnx21一般来说，如果当n无限地增大时，xn无限地趋向于常数a，则说，当n趋于无穷大时，以为a极限，记成}{nx当n越来越大时，它们各自是否都有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？,}1sin{}{}2{}{})11{(}{10等，，但是，数列nnxnxnxnnnnn.1))1(1(lim,021lim:nnnnn直观上可以看出).(limnaxaxnnn或以为例来讨论数列极限的含义.前面已经看到：当n无限地增大时，xn无限地趋于常数1.})1(1{}{nxnn也就是对于任意给定的正数，都可小于.|1|nx|1|nx所谓xn无限地趋于1，就是说可以任意小.比如，欲使}1{nx01.0而任意小的前提条件是n充分大.只需n100.01.01|1|nxn只需n1000.001.0|1|nx.1n只需欲使|1|nx一般来说，对于任意给定的正数，欲使这样，就定量地刻画了当时，以1为极限的这一事实.下面给出数列极限的精确定义.n}{nx定义设有，a是常数，如果对于任意给定的正数，总存在一个正整数N，使当nN时，都有成立.则称数列当n趋于无穷大时以a为极限，记作数列有极限，也称该数列是收敛的.否则，称数列是发散的.}{nx}{nxaxn}{nx).(limnaxaxnnn或.}{}{axaxnn收敛于为极限也说以时，，当正整数NnN,0limaxNn定义.||axn有;1})1(1{}{收敛于时，例如，当nxnnn;0}21{}{收敛于nnx.}{}{是发散数列nxn.212limnnn用定义验证即可，即只需1,1nn),1]1[(]1[的最大整数表示不大于其中因此，取正整数N例6，，欲使对于任意给定的正数nnn1|212|证,|212|成立时，恒有则当nnNn,212为极限以时，从而知，当nnxnn.212limnnn即).1|(|0limqqnn用定义验证证当q=0时，等式显然成立.,|||0|成立欲使不等式nnqq|).|,0||(lg||lglg,lg||lgqqqnqn取即只需当0|q|1时，对任意给定的正数(不妨设1).例7,|0|]||lglg[成立时，都有，则当取正整数nqNnqN).1|(|0limqqnn.0)1(sinlim2nnn用定义验证22)1(sin0)1(sinnnnn证对于任意给定的正数(不妨设01)，由于,0－)1(sin2nn欲使.11nn，即只需例8.111)1(12nnn,|0)1(sin|]1[2成立时，就有，当取正整数nnNnN.0)1(sinlim2nnn从而知三、收敛数列的性质数列收敛于a的几何意义如下：当我们把看成是数轴上的点列时，数列收敛于a，就是对点a的任何一个邻域，都存在一个序号N，使得点列的第N个点以后的所有点都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a的这个邻域之内，或者说至多有N个点落在区间之外.}{nx),(aa,,,,21nxxxNx,,21NNxx}{nx,,,,21nxxx),(aa当我们把数列看成是n的整标函数，即其图形是在平面直角坐标系中的二维点列：数列收敛于a，就是对于任意给定的正数(无论其多么小)，总存在正整数N，当nN时，二维点都在直线与直线形成的带状域之内，一般来说，越小(带宽小)，N越大.ay}{nx),(nfxn}{nx.),,(,),,2(),,1(21nxnxx),(nxnay定理2.1(极限的唯一性)若数列收敛，则其极限唯一.根据数列极限的定义及{xn}以a为极限可知，存在正整数N1，当nN1时，有}{nx证反证法.设数列收敛，但极限不唯一，即有极限a和b，不妨设ab.取.}{nx2ba}{nx,2||baaxn,22baaxbaan即)1(.2baxn从而有又由于以b为极限，对上述的存在正整数N2，当时，有}{nx,2ba2Nn,2||babxn,22babxbabn即)2(.2baxn从而有当nN时，(1)式与(2)式同时成立，这显然是矛盾的.因此，收敛数列的极限是唯一的.),,(},max{2121之最大数即取取NNNNN定理2.2(收敛数列的有界性)收敛数列必有界.||1||||||||aaaxaaxxnnn于是，有.1||成立axn证设数列收敛，并且以a为极限.根据数列极限的定义，对于，存在着正整数N，}{nx1使得当nN时，都有.|||}|1|,|,|,||,max{|21MxnaxxxMnN有对于一切，取由定理2.2知，无界数列一定是发散的.注意:数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如，数列是有界的，而却是发散数列.}{nx})1{(}{1nnx定理2.3(保序性)且ab，则存在正整数N，当nN时，恒有定理2.3表明两个收敛数列，若它们的极限不相等时，则当n充分大后对应的项也不相等，且与极限值有相同的大小顺序.,lim,limbyaxnnnn若.nnyx推论1若且ab(或ab)，则存在正整数N，当nN时，,limaxnn).(bxbxnn或证在定理2.3中取，即得推论1.byn.,3.2.11nnyxNnNba时，有当，存在正整数由定理假设.,limlimbayxNnNbyaxnnnnnn，则有时，有当，且存在正整数，若推论2证反证法},,max{12NNN由已知条件，取.,.,,2bayxyxNnnnnn必有所以这是矛盾的同时成立与时当.1limlim11.2nnnnnnnnnnnnvuvunnnvnnubayxyx，但均有，，对一切，例如，可能相等仍，，极限值改为中条件推论注意：