概率论与数理统计第六章习题解

-1-第六章....抽样与抽样分布习题解(习题六)1.从总体X中抽取容量为5的样本，得数据如下：－1.5，2.8，1.4，0，1.4，据此写出X的样本分布函数.解：把样本数据顺序排列为：－1.5，0，1.4，1.4，2.8，则由样本分布函数的定义，题设样本的分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤−−=)8.2()8.24.1()4.10()05.1()5.1(,,,,,15/45/25/10)(5xxxxxxF2.从总体X中抽取样本1x,2x,…,nx，用x表示样本均值，试证：(1).∑=−0)(xxi；(2).∑−2)(Cxi在xC=时达最小.证明：(1).∑∑=−=−=−0)(xnxnxnxxxii；(2).设)(Cf＝∑−2)(Cxi＝∑+−)2(22CCxxii＝∑+−222nCxnCxi，求解对C的导数方程：022)(=−=′xnnCCf，得唯一驻点C＝x，而且，当xC时，0)(′Cf；当xC时，0)(′Cf，∴C＝x是使)(Cf取极小值的点，故∑−2)(Cxi在xC=时达最小.3.考察幼林胸径，任意抽取10株作为样本，得数据如下(单位：厘米)：3.0，2.0，5.5，5.0，3.0，6.5，7.0，4.0，4.0，6.0，试计算样本均值、方差、修正方差.解：样本均值：-2-x＝6.4)0.620.40.75.60.55.50.220.3(101=+×++++++×；样本方差：2221xnxnSi−=∑＝2222222226.410)62475.655.5223(101×−+×++++++×＝2.49；样本修正方差：77.249.2910122≈×=−=∗SnnS.4.设总体X～N(0,23.0)，从中抽取容量为15的样本1x,2x,…,15x，求概率∑)25.2(2ixP.解：∵1x,2x,…,15x是来自总体X的样本，∴ix～N(0,23.0)，从而有标准化随机变量：3.0iixy=～N(0，1)，(i＝1,2,…,15),于是由2χ-分布定义有：∑∑====15121512209.01iiiixyχ～)15(2χ，∴∑)5.2(2ixP＝05.0)25()25.209.0(15121512≈=∑∑==iiIiyPyP.(注：求)25)15((22=αχχP,在2χ-分布上侧临界值表中，由自由度n＝15，及2χ-分布上侧临界值25)15(2=αχ，反找概率α值，即为所求概率).5.对10α，试证),(1),(1mnFnmFαα=−，并利用此式求)2,28(90.0F的值.证明：设{}αα−=−1),(),(1nmFnmFP------------------①及{}αα=),(),(mnFmnFP，则应用F-分布性质(1)有：-3-{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=),(),(1),(),(mnFnmFPmnFmnFPαα＝−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1),(1),(mnFnmFPααα=⎭⎬⎫⎩⎨⎧),(1),(mnFnmFP，从而得：αα−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1),(1),(mnFnmFP-------------------②于是比较①、②便得：),(/1),(1mnFnmFαα=−.求)2,28(90.0F的值：)2,28(90.0F＝4.050.21)28,2(11.0==F.